Problemas de Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas

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Explicacion y Ejemplos Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se puede escribir en la forma Ax + By = C, donde A, B y C son números reales y x e y son las incógnitas. Estas ecuaciones se pueden usar para resolver problemas de dos variables, como el problema de la edad de dos hermanos o el problema de encontrar la distancia y la altura de un objeto. En este artículo, aprenderás cómo resolver ecuaciones lineales con dos incógnitas usando el método de sustitución o el método de eliminación.

Para resolver una ecuación lineal con dos incógnitas usando el método de sustitución, lo primero que debes hacer es identificar cuál de las dos incógnitas es más fácil de encontrar. En la mayoría de los casos, la incógnita que se puede encontrar fácilmente es la que tiene el valor más sencillo (por ejemplo, 0, 1 o -1). Luego, sustituye el valor de esta incógnita en una de las otras dos ecuaciones y resuelve esta ecuación para la otra incógnita. Finalmente, sustituye el valor de la incógnita que acabas de encontrar en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la última incógnita.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente problema:

Dos amigos, Ana y Beto, compraron una mesa y una silla. Ana pagó Bs. 200 por la mesa y Bs. 100 por la silla. Beto pagó Bs. 150 por la mesa y Bs. 50 por la silla. ¿Cuánto dinero pagó Ana por la silla? ¿Cuánto dinero pagó Beto por la silla?

Este problema se puede representar mediante la siguiente ecuación lineal:

M = 100 + S

M = 150 + S

Donde M representa el precio de la mesa y S representa el precio de la silla.

En este ejemplo, es más fácil encontrar el valor de S, ya que S tiene un valor más sencillo (100). Así que sustituimos el valor de S (100) en la segunda ecuación y resolvemos:

M = 150 + 100

M = 250

Luego, sustituimos el valor de M (250) en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de S:

250 = 100 + S

S = 150

Por lo tanto, Ana pagó Bs. 150 por la silla y Beto pagó Bs. 50 por la silla.

Otro ejemplo de un problema que se puede representar mediante una ecuación lineal con dos incógnitas es el problema de edad de dos hermanos:

María tiene dos hijos, Ana y Beto. Ana tiene la mitad de la edad de María más 4 años. Beto tiene 5 años menos que Ana. ¿Cuántos años tiene María? ¿Cuántos años tiene Beto?

Este problema se puede representar mediante la siguiente ecuación lineal:

M = 2 * (A – 4) – 5

A = M / 2 + 4

Donde M representa la edad de María y A representa la edad de Ana.

En este ejemplo, es más fácil encontrar el valor de A, ya que A tiene un valor más sencillo (4). Así que sustituimos el valor de A (4) en la primera ecuación y resolvemos:

M = 2 * (4 – 4) – 5

M = 2 * 0 – 5

M = -5

Como podemos ver, en este caso el valor de M es negativo, lo cual no tiene sentido, ya que la edad de María no puede ser negativa. Esto significa que no podemos resolver este problema usando el método de sustitución. En estos casos, debemos usar el método de eliminación.

El método de eliminación se usa cuando no es posible resolver un problema usando el método de sustitución. Para resolver un problema usando el método de eliminación, primero debes multiplicar cada una de las ecuaciones por un número de tal manera que los términos de una de las incógnitas se cancelen cuando se sumen las dos ecuaciones. Luego, sustituyes el valor de la incógnita que acabas de encontrar en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver el siguiente problema:

Ana y Beto compraron una mesa y dos sillas. Ana pagó Bs. 100 por la mesa y Bs. 50 por cada silla. Beto pagó Bs. 50 por la mesa y Bs. 25 por cada silla. ¿Cuánto dinero pagó Ana por la silla? ¿Cuánto dinero pagó Beto por la silla?

Este problema se puede representar mediante la siguiente ecuación lineal:

M + 2S = 100

M + 2S = 50

Donde M representa el precio de la mesa y S representa el precio de la silla.

En este ejemplo, es más fácil encontrar el valor de S, ya que S tiene un valor más sencillo (25). Así que multiplicamos cada una de las ecuaciones por 2 para cancelar el término de S en una de las ecuaciones:

2M + 4S = 200

M + 2S = 50

Luego, restamos una ecuación de la otra para eliminar el término de M:

2M + 4S – (M + 2S) = 200 – 50

2MM + 4S – 2S = 150

M + 2S = 150

Luego, resolvemos esta ecuación para S:

S = 75 / 2

S = 37.5

Finalmente, sustituimos el valor de S (37.5) en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de M:

M + 2 * 37.5 = 100

M = 25

Por lo tanto, Ana pagó Bs. 25 por la mesa y Bs. 37.5 por la

Problemas Resueltos con soluciones de Ecuaciones Lineales Con Dos Incognitas

Los ejercicios de ecuaciones lineales con dos incógnitas suelen resultar complicados de resolver. A continuación se presentan algunos ejemplos de cómo resolver estos problemas utilizando la regla de Cramer.

Ejemplo 1

Resolver la siguiente ecuación:

2x + 3y = 10

Para resolver este problema, se debe utilizar la regla de Cramer. Lo primero que hay que hacer es determinar los valores de x y y. Esto se puede hacer reemplazando x en la segunda ecuación por el valor de -3:

2x + 3y = 10

-3x + 3y = 10

Al restar las dos ecuaciones, se obtiene:

5y = 20

Al dividir ambos lados de la ecuación entre 5, se tiene:

y = 4

Ahora que se sabe el valor de y, se puede reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de x. Si se reemplaza y en la primera ecuación, se tiene:

2x + 3(4) = 10

2x + 12 = 10

Al restar 12 de ambos lados, se tiene:

2x = -2

Al dividir ambos lados de la ecuación entre 2, se tiene:

x = -1

Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = -1 y y = 4.

Ejemplo 2

Resolver la siguiente ecuación:

4x + 3y = 18

Para resolver este problema, se debe utilizar la regla de Cramer. Lo primero que hay que hacer es determinar los valores de x y y. Esto se puede hacer reemplazando y en la primera ecuación por el valor de -4:

4x + 3y = 18

4x + 3(-4) = 18

Al restar las dos ecuaciones, se obtiene:

7y = 36

Al dividir ambos lados de la ecuación entre 7, se tiene:

y = 5

Ahora que se sabe el valor de y, se puede reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de x. Si se reemplaza y en la segunda ecuación, se tiene:

4x + 3(5) = 18

4x + 15 = 18

Al restar 15 de ambos lados, se tiene:

4x = 3

Al dividir ambos lados de la ecuación entre 4, se tiene:

x = 0.75

Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 0.75 y y = 5.

Ejemplo 3

Resolver la siguiente ecuación:

x – 2y = 5

Para resolver este problema, se debe utilizar la regla de Cramer. Lo primero que hay que hacer es determinar los valores de x y y. Esto se puede hacer reemplazando x en la segunda ecuación por el valor de -1:

x – 2y = 5

(-1) – 2y = 5

Al restar las dos ecuaciones, se obtiene:

-2y = 10

Al dividir ambos lados de la ecuación entre -2, se tiene:

y = -5

Ahora que se sabe el valor de y, se puede reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de x. Si se reemplaza y en la primera ecuación, se tiene:

x – 2(-5) = 5

x + 10 = 5

Al restar 10 de ambos lados, se tiene:

x = -5

Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = -5 y y = -5.

Ejemplo 4

Resolver la siguiente ecuación:

3x – 5y = 7

Para resolver este problema, se debe utilizar la regla de Cramer. Lo primero que hay que hacer es determinar los valores de x y y. Esto se puede hacer reemplazando y en la segunda ecuación por el valor de -2:

3x – 5y = 7

3x – 5(-2) = 7

Al restar las dos ecuaciones, se obtiene:

8y = 17

Al dividir ambos lados de la ecuación entre 8, se tiene:

y = 2.125

Ahora que se sabe el valor de y, se puede reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener el valor de x. Si se reemplaza y en la primera ecuación, se tiene:

3x – 5(2.125) = 7

3x – 10.625 = 7

Al restar 10.625 de ambos lados, se tiene:

3x = 17.625

Al dividir ambos lados de la ecuación entre 3, se tiene:

x = 5.875

Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 5.875 y y = 2.125.

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