Explicacion y Ejemplos Planteamiento De Sistemas De Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales son una parte integral de la matemática y se usan en una variedad de áreas de la ciencia y la ingeniería. En esta lección, aprenderemos cómo plantear y solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
Una de las formas más comunes de representar un sistema de ecuaciones lineales es mediante el uso de matrices. Una matriz es un arreglo bidimensional de números, como se muestra a continuación:
Ejemplo:
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
begin{align*} 2x+3y&=5\ 4x-y&=3 end{align*}
Este sistema se puede representar mediante la siguiente matriz:
begin{bmatrix} 2 & 3\ 4 & -1 end{bmatrix}
La notación matricial es una forma conveniente de representar sistemas de ecuaciones lineales. Con frecuencia, los coeficientes de las variables se agrupan en una matriz llamada matriz de coeficientes, mientras que los términos independientes se agrupan en un vector llamado vector de términos independientes.
Una forma común de solucionar un sistema de ecuaciones lineales es mediante el uso de una técnica llamada eliminación gaussiana. La eliminación gaussiana es un proceso iterativo que se usa para transformar una matriz de coeficientes en una matriz triangular. Una matriz triangular es una matriz en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero. Una matriz triangular se puede representar de la siguiente manera:
La eliminación gaussiana se lleva a cabo mediante el uso de operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son operaciones que se pueden realizar en una fila de una matriz que no cambian el determinante de la matriz. Las tres operaciones elementales de fila más comunes son las siguientes:
Intercambio de dos filas de una matriz
Multiplicación de una fila de una matriz por un escalar
Suma de un escalar multiplicado por una fila de una matriz a otra fila de la misma matriz
La eliminación gaussiana se lleva a cabo mediante el uso de estas tres operaciones elementales de fila. El objetivo de la eliminación gaussiana es transformar la matriz de coeficientes en una matriz triangular. Una vez que se ha transformado la matriz en una matriz triangular, la solución del sistema se puede determinar mediante el uso de una técnica llamada sustitución hacia atrás.
La sustitución hacia atrás es una técnica que se usa para resolver sistemas de ecuaciones lineales triangularizados. Se lleva a cabo mediante el uso de las siguientes dos etapas:
Resolver la primera ecuación para la primera variable
Sustituir el valor de la primera variable en las demás ecuaciones y resolver para las otras variables
Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones triangularizado:
begin{align*} x+y&=5\ -2y&=6 end{align*}
Podemos resolver este sistema de ecuaciones mediante el uso de sustitución hacia atrás de la siguiente manera:
Resolver la primera ecuación para $x$: begin{align*} x&=5-y end{align*}
Sustituir el valor de $x$ en la segunda ecuación y resolver para $y$: begin{align*} -2y&=6\ y&=3 end{align*}
Sustituir el valor de $y$ en la primera ecuación y resolver para $x$: begin{align*} x&=5-3\ x&=2 end{align*}
Por lo tanto, la solución de este sistema de ecuaciones es $x=2$ y $y=3$.
En general, la eliminación gaussiana y la sustitución hacia atrás son métodos eficientes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. No obstante, existen otros métodos que se pueden usar para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de eliminación gauss-jordan y el método de factorización LU.
Problemas Resueltos con soluciones de Planteamiento De Sistemas De Ecuaciones Lineales
Muchas veces, cuando tenemos que lidiar con sistemas de ecuaciones lineales, nos vemos enfrentados a un gran reto. No obstante, con un poco de práctica y perseverancia, podemos aprender a manejar estos problemas de una manera eficiente y efectiva. A continuación, te presentamos algunos ejemplos de planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales, así como sus respectivas soluciones.
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
3x + 2y = 7 4x – 3y = –2
Para resolver este sistema de ecuaciones, lo primero que debemos hacer es multiplicar la primera ecuación por –4 y la segunda ecuación por 3. Luego, debemos sumar las dos ecuaciones resultantes. De esta forma, obtendremos la siguiente ecuación:
–12x + 8y = 18
Ahora, podemos despejar la incógnita y de la siguiente manera:
y = 18/8 – 3/4x
Así, sustituyendo la expresión de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, podemos despejar la incógnita x. En este caso, si sustituimos la expresión de y en la primera ecuación, obtendremos:
3x + 218/8 – 3/4x = 7
De esta forma, podemos resolver la ecuación para x y, finalmente, obtener la solución del sistema. En este caso, la solución del sistema es:
x = –1, y = 5
Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2x + 3y = –1 –x + 5y = 9
Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos seguir el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior. En primer lugar, debemos multiplicar la primera ecuación por –1 y la segunda ecuación por 2. Luego, debemos sumar las dos ecuaciones resultantes. De esta forma, obtendremos la siguiente ecuación:
–2x + 11y = 11
Ahora, podemos despejar la incógnita y de la siguiente manera:
y = 11/11 – 1/2x
Así, sustituyendo la expresión de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, podemos despejar la incógnita x. En este caso, si sustituimos la expresión de y en la primera ecuación, obtendremos:
2x + 311/11 – 1/2x = –1
De esta forma, podemos resolver la ecuación para x y, finalmente, obtener la solución del sistema. En este caso, la solución del sistema es:
x = 1, y = 2
Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x + 3y = 5 2x – 5y = –3
Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos seguir el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores. En primer lugar, debemos multiplicar la primera ecuación por –2 y la segunda ecuación por 1. Luego, debemos sumar las dos ecuaciones resultantes. De esta forma, obtendremos la siguiente ecuación:
–2x + y = 2
Ahora, podemos despejar la incógnita y de la siguiente manera:
y = 2 + 2x
Así, sustituyendo la expresión de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, podemos despejar la incógnita x. En este caso, si sustituimos la expresión de y en la segunda ecuación, obtendremos:
2x – 5(2 + 2x) = –3
De esta forma, podemos resolver la ecuación para x y, finalmente, obtener la solución del sistema. En este caso, la solución del sistema es:
x = 1, y = 5
Como puedes ver, resolver sistemas de ecuaciones lineales puede resultar un poco complicado, pero con un poco de práctica y perseverancia, seguro que podrás manejarlos con soltura en poco tiempo.
