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Explicacion y Ejemplos Sistemas De Ecuaciones Con 3 Incognitas
Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con un número finito de variables. Las variables son números que se desconocen y aparecen en las ecuaciones. Las incógnitas son las variables desconocidas del sistema. Para un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, se necesitan tres ecuaciones para poder resolverlo. Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. En este artículo, se explicarán dos de los métodos más comunes: el método de sustitución y el método de eliminación.
Método de sustitución
El método de sustitución se basa en la idea de sustituir una de las incógnitas del sistema por su expresión en términos de las otras dos. Esto se puede hacer al resolver una de las ecuaciones del sistema para una de las incógnitas. Luego, esta expresión se reemplaza en las otras dos ecuaciones. El objetivo del método de sustitución es simplificar el sistema de ecuaciones, de modo que quede un sistema de ecuaciones con sólo dos incógnitas. A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de sustitución.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:
3x + 2y – z = 5
x – 2y + 4z = 3
2x – y – z = –1
Paso 1: Resolver una de las ecuaciones para una de las incógnitas. En este ejemplo, vamos a resolver la primera ecuación para x:
3x + 2y – z = 5
3x = 5 – 2y + z
x = 5/3 – 2/3y + 1/3z
Paso 2: Sustituir la expresión de x en las otras dos ecuaciones:
5/3 – 2/3y + 1/3z + 2y – z = 5
1/3y – 2/3z = –4/3
x – 2y + 4z = 3
Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones con dos incógnitas utilizando cualquier método que se desee. En este ejemplo, vamos a utilizar el método de eliminación:
1/3y – 2/3z = –4/3
x – 2y + 4z = 3
1/3y – 2/3z = –4/3 + 2(x – 2y + 4z)
1/3y – 2/3z = –4/3 + 2x – 4y + 8z
1/3y = –2/3 – 4/3x + 2y – 4z
y = 1 – 4/3x + 4z
x – 2(1 – 4/3x + 4z) + 4z = 3
x – 2 + 8/3x – 8z + 4z = 3
11/3x = 11/3
x = 1
y = 1 – 4/3(1) + 4(1)
y = 1 – 4/3 + 4
y = 9/3
z = 3 – 2(1 – 4/3(1) + 4(1))
z = 3 – 2(1 – 4/3 + 4)
z = 3 – 2(9/3)
z = 3 – 6
z = –3
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es x = 1, y = 9/3, z = –3.
Método de eliminación
El método de eliminación se basa en la idea de eliminar una de las incógnitas del sistema, de modo que quede un sistema de ecuaciones con sólo dos incógnitas. Esto se puede hacer al igualar las expresiones de una de las incógnitas en las dos ecuaciones restantes. El objetivo del método de eliminación es simplificar el sistema de ecuaciones, de modo que quede un sistema de ecuaciones con sólo dos incógnitas. A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de eliminación.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de eliminación:
3x + 2y – z = 5
x – 2y + 4z = 3
2x – y – z = –1
Paso 1: Igualar las expresiones de una de las incógnitas en las dos ecuaciones restantes. En este ejemplo, vamos a igualar las expresiones de y en las dos ecuaciones restantes:
3x + 2y – z = 5
x – 2y + 4z = 3
2x – (3x + 2y – z) – z = –1
2x – 3x – 2y + z – z = –1
–x – 2y = –2
Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones con dos incógnitas utilizando cualquier método que se desee. En este ejemplo, vamos a utilizar el método de sustitución:
–x – 2y = –2
x – 2y + 4z = 3
x = 3 – 2y + 4z
–(3 – 2y + 4z) – 2y = –2
–3 + 4y – 8z – 2y = –2
2y – 8z = 5
y = 5/2 + 4z/2
3 – 2(5/2 + 4z/2) + 4z = 3
3 – 5 – 8z + 8z = 3
–5 = 3
z = –2
y = 5/2 + 4(-2)/2
y = 5/2 – 4
y = 1/2
Por lo tanto, la solución del
Problemas Resueltos con soluciones de Sistemas De Ecuaciones Con 3 Incognitas
Los sistemas de ecuaciones lineales con incógnitas pueden tener una, dos o tres incógnitas. En este artículo se presentan ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas, así como sus respectivas soluciones.
Ejercicio 1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
a) 2x + 3y – z = 5
b) –x + 2y + 4z = 3
c) x – y + 2z = –1
Solución:
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas, podemos utilizar el método de sustitución o el método de eliminación. En este ejercicio utilizaremos el método de sustitución.
Comencemos resolviendo la primera ecuación para z:
2x + 3y – z = 5
z = 2x + 3y – 5
Sustituimos z en las otras dos ecuaciones:
–x + 2y + 4(2x + 3y – 5) = 3
–x + 2y + 8x + 12y – 20 = 3
20y – 9x = –23
x – y + 2(2x + 3y – 5) = –1
x – y + 4x + 6y – 10 = –1
7x – 5y = 9
Ahora resolveremos el sistema utilizando el método de sustitución. Primero, sustituimos y en la segunda ecuación:
20(7x – 5y) – 9x = –23
140x – 100y – 9x = –23
131x – 100y = –23
y = (131x – 100y)/100
y = 131x/100 – 100y/100
y = 131x/100 – y
Sustituimos y en la primera ecuación:
7x – 5(131x/100 – y) = 9
7x – 655x/100 + 605y/100 = 9
–648x/100 + 605y/100 = 9
y = 9 + 648x/100
y = (648x + 900)/100
y = 648x/100 + 9
Ahora que tenemos una expresión para y, la sustituimos en la segunda ecuación:
20[648x/100 + 9] – 9x = –23
12960x/100 + 180 – 9x = –23
12960x/100 + 157 = –23
12960x/100 = –180 – 157
12960x/100 = –337
x = –33700/1296
x = –260/99
Una vez que tenemos un valor para x, lo sustituimos en cualquiera de las tres ecuaciones para obtener un valor para y:
2(–260/99) + 3y – z = 5
–520/99 + 3y – z = 5
3y – z = 520/99 + 5
3y – z = 625/99
y = 625/297 + z/3
Por último, sustituimos y en la primera ecuación para z:
2(–260/99) + 3(625/297 + z/3) – z = 5
–520/99 + 625/99 + 625/297z + z – z = 5
625/297z = –520/99 + 625/99 + 5
625/297z = 625/297 + 125/99
z = 250/297
Así, las soluciones del sistema son x = –260/99, y = 625/297 + 250/297 = 875/297 y z = 250/297.
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