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Explicacion y Ejemplos Problemas Probabilidad Condicional Con Diagrama De Arbol
Probabilidad Condicional Con Diagrama De Arbol: La probabilidad conditional con diagrama de arbol es una forma de calcular la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ha ocurrido. Esto se puede hacer usando un diagrama de arbol, que es una representación visual de las posibles combinaciones de eventos y sus probabilidades. Un diagrama de arbol se puede construir a partir de una tabla de datos o de una serie de ecuaciones. En este artículo, se proporcionará un ejemplo de cómo construir un diagrama de arbol a partir de una tabla de datos. Luego, se utilizará el diagrama de arbol para calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que ocurre otro evento.
Para construir un diagrama de arbol, se necesitan tres cosas: una lista de eventos, las probabilidades de que ocurran esos eventos y las relaciones entre esos eventos. En el ejemplo que se muestra a continuación, se usará una tabla de datos para encontrar esta información. La tabla de datos se puede encontrar aquí. La tabla de datos muestra las probabilidades de que ocurran ciertos eventos en un experimento en el que se lanzan dos monedas al aire. Las columnas de la tabla representan los eventos (los resultados posibles de lanzar las dos monedas) y las filas representan los eventos anteriores (el resultado del primer lanzamiento de moneda).
Por ejemplo, en la primera fila, la primera columna representa el evento «ambas monedas caen con cara», que tiene una probabilidad de 0,25. Esto significa que, si se conoce el resultado del primer lanzamiento de moneda, la probabilidad de que ambas monedas caigan con cara en el segundo lanzamiento es de 0,25. De manera similar, en la primera fila, la segunda columna representa el evento «una moneda cae con cara y la otra cae con cruz», que tiene una probabilidad de 0,5. Esto significa que, si se conoce el resultado del primer lanzamiento de moneda, la probabilidad de que una moneda caiga con cara y la otra moneda caiga con cruz en el segundo lanzamiento es de 0,5.
Para construir el diagrama de arbol, se comienza con una raíz que representa el evento inicial (en este caso, el primer lanzamiento de moneda). A continuación, se dibujan ramas que representan los eventos posibles que pueden ocurrir a partir del evento inicial. Cada rama se etiqueta con la probabilidad del evento que representa. En el ejemplo, la primera rama representa el evento «ambas monedas caen con cara», que tiene una probabilidad de 0,25. La segunda rama representa el evento «una moneda cae con cara y la otra cae con cruz», que tiene una probabilidad de 0,5. A continuación, se dibujan ramas que representan los eventos posibles que pueden ocurrir a partir de cada evento anterior. Por ejemplo, si el primer lanzamiento de moneda resulta en que ambas monedas caigan con cara, entonces el segundo lanzamiento de moneda podría resultar en que ambas monedas caigan con cara nuevamente (con una probabilidad de 0,25), o podría resultar en que una moneda caiga con cara y la otra moneda caiga con cruz (con una probabilidad de 0,5).
Una vez que se han dibujado todas las ramas y se han etiquetado con las probabilidades de los eventos, se puede utilizar el diagrama de arbol para calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que ocurre otro evento. En el ejemplo, se quiere calcular la probabilidad de que, si se sabe que en el primer lanzamiento de moneda ambas monedas caen con cara, entonces en el segundo lanzamiento de moneda ambas monedas caigan con cara nuevamente. Para hacer esto, se encuentra la rama que representa el evento «ambas monedas caen con cara» en el primer lanzamiento de moneda, y luego se sigue la rama hasta el evento «ambas monedas caen con cara» en el segundo lanzamiento de moneda. La probabilidad de que ocurra este evento es la probabilidad de la rama que representa el evento «ambas monedas caen con cara» en el primer lanzamiento de moneda multiplicada por la probabilidad de la rama que representa el evento «ambas monedas caen con cara» en el segundo lanzamiento de moneda. En el ejemplo, la probabilidad de que ambas monedas caigan con cara en el primer lanzamiento de moneda es de 0,25, y la probabilidad de que ambas monedas caigan con cara en el segundo lanzamiento de moneda es de 0,25. Por lo tanto, la probabilidad de que, si se sabe que en el primer lanzamiento de moneda ambas monedas caen con cara, entonces en el segundo lanzamiento de moneda ambas monedas caigan con cara nuevamente, es de 0,25 x 0,25, o 0,0625.
En general, la probabilidad de que ocurra un evento dado que ocurre otro evento se puede calcular de la siguiente manera:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
donde:
P(A|B) = probabilidad de que ocurra el evento A dado que ocurre el evento B
P(A∩B) = probabilidad de que ocurran los eventos A y B
P(B) = probabilidad de que ocurra el evento B
Este artículo proporcionó un ejemplo de cómo construir un diagrama de arbol y cómo utilizarlo para calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que ocurre otro evento. El diagrama de arbol es una herramienta útil para la toma de decisiones en situaciones en las que se conoce la probabilidad de que ocurran ciertos eventos.
Problemas Resueltos con soluciones de Probabilidad Condicional Con Diagrama De Arbol
A veces, la mejor manera de aprender cómo resolver un tipo particular de problema de probabilidad es ver un ejemplo de cómo se hace. En esta lección, vamos a ver algunos ejercicios resueltos de probabilidad condicional usando diagramas de árbol. Un diagrama de árbol es una representación visual de las posibles trayectorias que pueden seguir los eventos en un problema de probabilidad. Cada rama del árbol se asocia con una posibilidad distinta, y la probabilidad de cada rama se indica en la rama. Veamos un ejemplo para hacernos una idea de cómo funcionan los diagramas de árbol.
Supongamos que tenemos una caja con 10 bolas: 5 rojas y 5 negras. Sacamos una bola de la caja al azar, y luego la volvemos a meter en la caja. Ahora, tenemos dos posibilidades: podemos sacar otra bola de la caja, o podemos dejar la caja como está. Si sacamos otra bola, podemos obtener una bola roja o una bola negra. Si no sacamos ninguna bola, entonces la caja permanece sin cambios. El diagrama de árbol para este problema se muestra a continuación:
Como podemos ver, cada rama del árbol tiene asociada una probabilidad. Por ejemplo, la primera rama, en la que no se saca ninguna bola de la caja, tiene una probabilidad de 1/2. La segunda rama, en la que se saca una bola y luego se vuelve a meter en la caja, tiene una probabilidad de 1/4. La tercera rama, en la que se sacan dos bolas de la caja, tiene una probabilidad de 1/8. Y así sucesivamente.
Ahora que hemos visto cómo funcionan los diagramas de árbol, veamos algunos ejercicios resueltos de probabilidad condicional usando este método. Recordemos que la probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A dado que ocurre un evento B. Se representa como P(A|B). Por ejemplo, si sabemos que hay un 40% de probabilidades de que llueva mañana, y un 30% de probabilidades de que llueva en cualquier día de la semana, entonces la probabilidad de que llueva dado que es miércoles es de 40%.
Ejercicio 1: Una caja contiene 4 bolas negras y 6 bolas rojas. Se saca una bola al azar y se observa su color. Luego, se vuelve a introducir la bola en la caja y se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean negras?
Para resolver este problema, primero dibujamos un diagrama de árbol. Como vemos, hay cuatro posibles trayectorias que pueden seguir los eventos:
Ahora, calculamos la probabilidad de cada una de estas trayectorias. La primera trayectoria, en la que se sacan dos bolas negras, tiene una probabilidad de (4/10) x (3/9) = 2/15. La segunda trayectoria, en la que se saca una bola negra y luego una bola roja, tiene una probabilidad de (4/10) x (6/9) = 24/45. La tercera trayectoria, en la que se sacan dos bolas rojas, tiene una probabilidad de (6/10) x (5/9) = 30/45. Y la cuarta trayectoria, en la que se saca una bola roja y luego una bola negra, tiene una probabilidad de (6/10) x (4/9) = 24/45.
Como podemos ver, las probabilidades de las primeras tres trayectorias son iguales: 2/15, 24/45 y 30/45. Esto se debe a que, en cada una de estas trayectorias, la segunda bola que se saca de la caja es de un color distinto al de la primera bola. Sin embargo, en la cuarta trayectoria, la segunda bola que se saca es del mismo color que la primera. Esto se debe a que, al haber sólo dos bolas negras en la caja, la probabilidad de que la segunda bola sea negra es de (2/9).
Por tanto, la probabilidad de que ambas bolas sean negras es de 2/15 + 24/45 + 30/45 = 56/135.
Ejercicio 2: Una caja contiene 10 bolas: 4 blancas, 3 negras y 3 rojas. Se saca una bola al azar, se observa su color y luego se vuelve a introducir en la caja. A continuación, se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color?
Para resolver este problema, dibujamos un diagrama de árbol. Como vemos, hay ocho posibles trayectorias que pueden seguir los eventos:
Ahora, calculamos la probabilidad de cada una de estas trayectorias.La primera trayectoria, en la que se sacan dos bolas blancas, tiene una probabilidad de (4/10) x (3/9) = 12/90. La segunda trayectoria, en la que se saca una bola blanca y luego una bola negra, tiene una probabilidad de (4/10) x (3/9) = 12/90. La tercera trayectoria, en la que se sacan dos bolas negras, tiene una probabilidad de (3/10) x (2/9) = 6/45. La cuarta trayectoria, en la que se saca una bola negra y luego una bola roja, tiene una probabilidad de (3/10) x (3/9) = 9/45.
Y así sucesivamente, las demás trayectorias tienen las siguientes probabilidades:
Quinta trayectoria: (3/10) x (2/9) = 6/45
Sexta trayectoria: (3/10) x (3/9) = 9/45
Séptima trayectoria: (4/10) x (3/9) = 12/90
Octava trayectoria: (4/10) x (3/9) = 12/90
Como podemos ver, hay cuatro trayectorias en las que se obtienen dos bolas del mismo color. Estas son las trayectorias en las que se sacan dos bolas blancas, dos bolas negras, dos bolas rojas o una bola blanca y una bola roja. Las demás trayectorias no son posibles, ya que es imposible obtener, por ejemplo, una bola blanca y una bola negra. Por tanto, la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color es de 12/90 + 6/45 + 9/45 + 12/90 = 39/180.
Ejercicio 3: Una caja contiene 6 bolas: 3 blancas y 3 negras. Se saca una bola al azar, se observa su color y luego se vuelve a introducir en la caja. A continuación, se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que
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