Problemas de Programacion Lineal Con Dos Variables

Problemas de Programacion Lineal Con Dos Variables Resueltos PDF

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Explicacion y Ejemplos Programacion Lineal Con Dos Variables

La programación lineal es un método matemático para optimizar una función objetivo, sujeta a una serie de restricciones. En otras palabras, la programación lineal es el proceso de maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a restricciones lineales.

Por ejemplo, considere el siguiente problema de programación lineal con dos variables de decisión:

Maximizar: 3x1 + 5x2

Sujeto a:

  • x1 >= 0
  • x2 >= 0
  • 2x1 + x2 <= 100

La solución óptima de este problema es x1 = 40 y x2 = 60. La función objetivo se maximiza en un valor óptimo de 300 (3 * 40 + 5 * 60).

En la programación lineal, las variables de decisión se llaman variables de decisión. En el ejemplo anterior, hay dos variables de decisión, x1 y x2. En general, un problema de programación lineal puede tener cualquier número de variables de decisión.

Las restricciones en un problema de programación lineal se llaman restricciones. En el ejemplo anterior, hay tres restricciones: x1 >= 0, x2 >= 0 y 2x1 + x2 <= 100. En general, un problema de programación lineal puede tener cualquier número de restricciones.

Una solución válida de un problema de programación lineal debe cumplir todas las restricciones. En el ejemplo anterior, la solución x1 = 40 y x2 = 60 cumple todas las restricciones. Algunas otras soluciones posibles incluyen x1 = 50 y x2 = 50, x1 = 20 y x2 = 80, y así sucesivamente.

Una solución óptima de un problema de programación lineal es una solución válida que maximiza o minimiza la función objetivo. En el ejemplo anterior, la solución x1 = 40 y x2 = 60 es la solución óptima, ya que maximiza la función objetivo en un valor óptimo de 300.

Hay un teorema que garantiza que, para cualquier problema de programación lineal, existe una solución óptima que cumple todas las restricciones. Sin embargo, en la práctica, encontrar la solución óptima puede ser un desafío.

Existen diferentes métodos que se pueden utilizar para encontrar la solución óptima de un problema de programación lineal. Uno de los más populares es el método simplex. Otros métodos incluyen el método de transporte, el método de las potencias, el método de las cuotas y el método de los extremos relativos.

En la programación lineal, a menudo es útil utilizar términos slack o términos de holgura. Los términos slack o de holgura se utilizan para representar las diferencias entre los límites superiores e inferiores de las restricciones. Por ejemplo, en la restricción 2x1 + x2 <= 100, el término slack es 100 - (2x1 + x2).

Los términos slack o de holgura pueden ser útiles para formular problemas de programación lineal de manera más compacta. Por ejemplo, el problema de programación lineal anterior se puede reformular de la siguiente manera:

Maximizar: 3x1 + 5x2

Sujeto a:

  • x1 >= 0
  • x2 >= 0
  • x1 + x2 + s1 = 100

Donde:

  • s1 es el término slack de la primera restricción.

De manera similar, el problema de programación lineal se puede reformular de la siguiente manera:

Maximizar: 3x1 + 5x2

Sujeto a:

  • x1 >= 0
  • x2 >= 0
  • 2x1 + x2 + s2 = 100

Donde:

  • s2 es el término slack de la segunda restricción.

En general, si un problema de programación lineal tiene m restricciones, entonces se puede reformular utilizando m – 1 términos slack.

Problemas Resueltos con soluciones de Programacion Lineal Con Dos Variables

¿Qué es la programación lineal?

La programación lineal es una técnica matemática que se utiliza para optimizar un objetivo, como maximizar las ganancias o minimizar los costos, sujeto a una serie de restricciones. La programación lineal se puede aplicar a una variedad de problemas de optimización en campos tales como la administración, la economía y la ingeniería.

La programación lineal se basa en el siguiente enfoque:

  • Especifique el objetivo a maximizar o minimizar.
  • Especifique las restricciones que el objetivo debe satisfacer.
  • Determinar la solución óptima que maximiza o minimiza el objetivo, sujeto a las restricciones especificadas.

En la programación lineal, se asume que todas las variables son continuas. Si alguna de las variables es entera, el problema se conoce como problema de programación lineal entera. Si el objetivo y las restricciones se especifican como funciones lineales de las variables, el problema se conoce como problema de programación lineal.

La programación lineal tiene una serie de aplicaciones en la vida real. Por ejemplo, una empresa puede utilizar la programación lineal para determinar la mejor manera de producir un producto dado un número limitado de máquinas y un número limitado de horas de mano de obra. Otra aplicación de la programación lineal es la asignación de tareas a empleados, en la que se trata de asignar tareas a empleados de tal manera que se maximice la eficiencia y se minimicen los costos.

La programación lineal es una técnica matemática poderosa que se utiliza para resolver una variedad de problemas de optimización en la vida real. Aprender a utilizar la programación lineal puede ayudarlo a tomar mejores decisiones en su vida y en su carrera.

Ejercicios Resueltos de Programacion Lineal Con Dos Variables

1. Una empresa produce dos productos, A y B. Se necesitan 4 horas de trabajo para producir una unidad de A y 3 horas de trabajo para producir una unidad de B. La empresa tiene disponibles 8 horas de trabajo diarias. Cada unidad de A se vende por $ 10 y cada unidad de B se vende por $ 6. ¿Cuál de los dos productos debe producir la empresa para maximizar sus ganancias?

2. Una empresa produce dos productos, A y B. Se necesitan 10 horas de trabajo para producir una unidad de A y 6 horas de trabajo para producir una unidad de B. La empresa tiene disponibles 24 horas de trabajo diarias. Cada unidad de A se vende por $ 8 y cada unidad de B se vende por $ 12. ¿Cuál de los dos productos debe producir la empresa para maximizar sus ganancias?

3. Una empresa produce dos productos, A y B. Se necesitan 12 horas de trabajo para producir una unidad de A y 8 horas de trabajo para producir una unidad de B. La empresa tiene disponibles 36 horas de trabajo diarias. Cada unidad de A se vende por $ 10 y cada unidad de B se vende por $ 12. ¿Cuál de los dos productos debe producir la empresa para maximizar sus ganancias?

4. Una empresa produce dos productos, A y B. Se necesitan 5 horas de trabajo para producir una unidad de A y 3 horas de trabajo para producir una unidad de B. La empresa tiene disponibles 20 horas de trabajo diarias. Cada unidad de A se vende por $ 12 y cada unidad de B se vende por $ 10. ¿Cuál de los dos productos debe producir la empresa para maximizar sus ganancias?

5. Una empresa produce dos productos, A y B. Se necesitan 4 horas de trabajo para producir una unidad de A y 2 horas de trabajo para producir una unidad de B. La empresa tiene disponibles 12 horas de trabajo diarias. Cada unidad de A se vende por $ 10 y cada unidad de B se vende por $ 8. ¿Cuál de los dos productos debe producir la empresa para maximizar sus ganancias?

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