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Explicacion y Ejemplos Problemas Ecuaciones Cuadraticas De Segundo Grado
En algebra, una ecuación cuadrática es una ecuación que puede ser escrita en la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a , b y c son constantes reales con a ≠ 0. Una ecuación cuadrática puede tener dos, una o ninguna raíz real. Las raíces de una ecuación cuadrática se llaman soluciones. Una solución puede ser un número real o una combinación de números reales e imaginarios.
Una ecuación cuadrática puede ser escrita en la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a , b y c son constantes reales con a ≠ 0. Si a = 1, la ecuación se reduce a la forma x 2 + bx + c = 0. Si b = 0 y c = 0, la ecuación se reduce a la forma x 2 = 0, que tiene una solución doble, x = 0. Si c = 0 pero b ≠ 0, la ecuación se reduce a la forma x 2 + bx = 0, que tiene una solución única, x = -b. La única ecuación cuadrática que no puede ser reducida a una ecuación de primer grado es la ecuación x 2 + c = 0, que tiene una solución única, x = √-c.
Para resolver una ecuación cuadrática, se utiliza el método de factorización . Este método requiere que se factorice la ecuación en la forma (x + a)(x + b) = 0. Si se puede factorizar la ecuación, entonces las raíces de la ecuación son x = -a y x = -b. Si la ecuación no se puede factorizar, entonces se utiliza el método de la discriminante . Este método requiere que se calcule la discriminante de la ecuación, que se define como b 2 – 4ac . Si la discriminante es positiva, entonces la ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Si la discriminante es cero, entonces la ecuación tiene una raíz doble . Si la discriminante es negativa, entonces la ecuación tiene ninguna raíz real . En este caso, se dice que la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas .
Ejemplo 1: Resolver la ecuación 2x 2 + 5x – 3 = 0 utilizando el método de factorización.
La ecuación se factoriza como (2x + 3)(x – 1) = 0. Esto se puede verificar utilizando el método de la discriminante. La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = 5 2 – 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 . Como la discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales . Las raíces de la ecuación son x = -3 y x = 1.
Ejemplo 2: Resolver la ecuación x 2 – 6x + 9 = 0 utilizando el método de la discriminante.
La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = (-6) 2 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0 . Como la discriminante es cero, la ecuación tiene una raíz doble . La única raíz de la ecuación es x = 3 . Esto se puede verificar utilizando el método de factorización. La ecuación se factoriza como (x – 3) 2 = 0. Esto se puede verificar utilizando el método de la discriminante. La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = (-6) 2 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0 . Como la discriminante es cero, la ecuación tiene una raíz doble . La única raíz de la ecuación es x = 3 .
Ejemplo 3: Resolver la ecuación x 2 + 2x + 1 = 0 utilizando el método de la discriminante.
La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = 2 2 – 4(1)(1) = 4 – 4 = 0 . Como la discriminante es cero, la ecuación tiene una raíz doble . La única raíz de la ecuación es x = -1 . Esto se puede verificar utilizando el método de factorización. La ecuación se factoriza como (x + 1) 2 = 0. Esto se puede verificar utilizando el método de la discriminante. La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = 2 2 – 4(1)(1) = 4 – 4 = 0 . Como la discriminante es cero, la ecuación tiene una raíz doble . La única raíz de la ecuación es x = -1 .
Ejemplo 4: Resolver la ecuación x 2 – 5x + 6 = 0 utilizando el método de factorización.
La ecuación se factoriza como (x – 2)(x – 3) = 0. Esto se puede verificar utilizando el método de la discriminante. La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = (-5) 2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1 . Como la discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales. Las raíces de la ecuación son x = 2 y x = 3.
Ejemplo 5: Resolver la ecuación x 2 + 4x + 4 = 0 utilizando el método de la discriminante.
La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = 4 2 – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0 . Como la discriminante es cero, la ecuación tiene una raíz doble . La única raíz de la ecuación es x = -2 . Esto se puede verificar utilizando el método de factorización. La ecuación se factoriza como (x + 2) 2 = 0. Esto se puede verificar utilizando el método de la discriminante. La discriminante de la ecuación es b 2 – 4ac = 4 2 – 4(1)(4) = 16 – 16 = 0 . Como la discrimin
Problemas Resueltos con soluciones de Ecuaciones Cuadraticas De Segundo Grado
Los ejercicios de ecuaciones cuadráticas de segundo grado pueden parecer difíciles, pero una vez que entiendas cómo se resuelven, te resultarán más fáciles de lo que pensabas. Aquí hay algunos ejercicios resueltos paso a paso para que puedas ver cómo se hace. También encontrarás la solución a cada ejercicio.
Ejercicio 1
Encuentre el valor de x en la ecuación cuadrática x2 + 6x + 9 = 0.
Paso 1: Primero, simplifique la ecuación haciendo el mismo número de operaciones a ambos lados del signo igual.
x2 + 6x + 9 = 0
x2 + 6x = -9
Paso 2: Ahora, aplique la fórmula cuadrática para encontrar el valor de x.
x = -b ± √b2 – 4ac / 2a
x = -6 ± √62 – 4(1)(9) / 2(1)
x = -6 ± √36 – 36 / 2
x = -6 ± √0 / 2
x = -6 ± 0
x = -6 ± 0
x = -6
Paso 3: Compruebe sus resultados sustituyendo el valor de x en la ecuación original y verificando que ambos lados sean iguales.
(-6)2 + 6(-6) + 9 = 0
36 – 36 + 9 = 0
9 = 0
9 ≠ 0
Como 9 no es igual a 0, sabemos que nuestro valor de x (-6) es correcto.
Ejercicio 2
Encuentre el valor de x en la ecuación cuadrática 3x2 – 12x + 9 = 0.
Paso 1: Primero, simplifique la ecuación haciendo el mismo número de operaciones a ambos lados del signo igual.
3x2 – 12x = -9
Paso 2: Ahora, aplique la fórmula cuadrática para encontrar el valor de x.
x = -b ± √b2 – 4ac / 2a
x = -(-12) ± √(-12)2 – 4(3)(9) / 6
x = 12 ± √144 – 108 / 6
x = 12 ± √36 / 6
x = 12 ± √36 / 6
x = 12 ± 6 / 6
x = 12 ± 1
x = 13 o x = 11
Paso 3: Compruebe sus resultados sustituyendo el valor de x en la ecuación original y verificando que ambos lados sean iguales.
3(11)2 – 12(11) + 9 = 0
3(121) – 132 + 9 = 0
363 – 132 + 9 = 0
231 + 9 = 0
240 ≠ 0
Como 240 no es igual a 0, sabemos que nuestro valor de x (11) es incorrecto. Comprobemos el otro valor de x.
3(13)2 – 12(13) + 9 = 0
3(169) – 156 + 9 = 0
507 – 156 + 9 = 0
351 + 9 = 0
360 = 0
Como 360 es igual a 0, sabemos que nuestro valor de x (13) es correcto.
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