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Explicacion y Ejemplos Problemas Aplicacion De Ecuaciones De Segundo Grado
Sabemos que una ecuación de segundo grado es una ecuación que tiene la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a≠0.
Por lo general, cuando hablamos de ecuaciones de segundo grado, nos referimos a las ecuaciones cuadráticas, es decir, aquellas en las que a=1. No obstante, también podemos tener ecuaciones de segundo grado en las que a≠1.
La solución de una ecuación de segundo grado es el valor o los valores de x que hacen que la ecuación sea cierta. En otras palabras, la solución de una ecuación de segundo grado es el valor o los valores de x que hacen que se cumpla ax2 + bx + c = 0.
Por ejemplo, la ecuación x2 + 2x + 1 = 0 tiene como solución x = -1. De hecho, si sustituimos -1 en lugar de x en la ecuación, vemos que se cumple:
(-1)2 + 2-1 + 1 = 0
1 – 2 + 1 = 0
0 = 0
Por otro lado, la ecuación x2 + x + 1 = 0 tiene como solución x = -1 ó x = -1.
Para resolver ecuaciones de segundo grado, podemos utilizar la fórmula general. La fórmula general nos permite encontrar la solución de cualquier ecuación de segundo grado, sin importar los valores de a, b y c. La fórmula general es la siguiente:
x = [-b ± √(b2 – 4ac)] / 2a
Donde:
- x representa la solución de la ecuación (los valores de x que hacen que la ecuación sea cierta).
- a, b y c son los coeficientes de la ecuación (los números que acompañan a x2, x y el término independiente, respectivamente).
- ± significa «más o menos».
- √ es la abreviatura de «raíz cuadrada». En este caso, la raíz cuadrada es de b2 – 4ac.
Aplicando la fórmula general a nuestras ecuaciones de ejemplo, tenemos:
Para x2 + 2x + 1 = 0, tenemos:
x = [-2 ± √(22 – 4·1·1)] / 2·1
x = [-2 ± √(4 – 4)] / 2
x = [-2 ± 0] / 2
x = -2 / 2
x = -1
Para x2 + x + 1 = 0, tenemos:
x = [-1 ± √(12 – 4·1·1)] / 2·1
x = [-1 ± √(1 – 4)] / 2
x = [-1 ± √(-3)] / 2
x = [-1 ± i√3] / 2
x = [-1 ± (√3)/2] / 2
Donde i es la unidad imaginaria y (√3)/2 es la raíz cúbica de 3.
Como podemos ver, en este último caso la solución de la ecuación es un número complejo. Esto ocurre cuando b2 – 4ac es negativo. En estos casos, la solución de la ecuación no es un número real, sino un número complejo.
Problemas Resueltos con soluciones de Aplicacion De Ecuaciones De Segundo Grado
Como resolver ecuaciones de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, puede parecer una tarea intimidante. Sin embargo, una vez que entiendas el proceso, verás que es bastante sencillo. Hay tres métodos diferentes que puedes usar para resolver ecuaciones de segundo grado: el método de factorización, el método de completing the square y el método de quadratic formula. Cualquiera de estos métodos puede ser útil, así que prueba con varios hasta que encuentres el que mejor se adapte a tus necesidades.
Método de factorización
Este método es útil cuando la ecuación tiene factores comunes. Para resolver la ecuación, simplemente factoriza los términos y luego aplica la propiedad distributiva para cancelar los factores comunes en ambos lados de la ecuación. A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver una ecuación de segundo grado mediante el método de factorización:
Ejemplo: Resolver la ecuación cuadrática x2 – 6x + 9 = 0
Paso 1: Identifique los términos constantes y los términos incógnitos. En este ejemplo, los términos constantes son 9 y –6, mientras que el término incógnito es x2.
Paso 2: Factoriza la ecuación. En este caso, podemos factorizar la ecuación de la siguiente manera:
x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3) = 0
Paso 3: Resuelva la ecuación factorizada. Para resolver la ecuación, aplique la propiedad distributiva para cancelar los factores comunes:
(x – 3)(x – 3) = 0
x – 3 = 0 o x – 3 = 0
x = 3 o x = 3
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática son 3 y 3.
Método de square
Este método es útil cuando la ecuación no tiene factores comunes. Para resolver la ecuación, primero completa el cuadrado en el primer término y luego aplica la propiedad distributiva para eliminar el término cuadrado. A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver una ecuación de segundo grado mediante el método de square:
Ejemplo: Resolver la ecuación cuadrática x2 + 10x + 25 = 0
Paso 1: Identifique los términos constantes y los términos incógnitos. En este ejemplo, los términos constantes son 25 y 10, mientras que el término incógnito es x2.
Paso 2: Complete el cuadrado en el primer término. Para completar el cuadrado, añadimos el cuadrado del segundo término y luego dividimos el resultado entre 2. En este caso, sería:
x2 + 10x + 25 = (x2 + 10x + 100) – 75
= (x + 5)2 – 75
Paso 3: Resuelva la ecuación factorizada. Para resolver la ecuación, aplique la propiedad distributiva para eliminar el término cuadrado:
(x + 5)2 – 75 = 0
(x + 5)2 = 75
x + 5 = ±√75
x = –5 ±√75
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática son –5 +√75 y –5 –√75.
Método de la fórmula cuadrática
Este método es útil cuando la ecuación no tiene factores comunes. Para resolver la ecuación, simplemente aplica la fórmula cuadrática. La fórmula cuadrática se puede escribir de la siguiente manera:
x = –b ± √(b2 – 4ac) / 2a
Donde:
- a es el coeficiente del término cuadrático (x2)
- b es el coeficiente del término lineal (x)
- c es el término independiente
A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver una ecuación de segundo grado mediante el método de la fórmula cuadrática:
Ejemplo: Resolver la ecuación cuadrática x2 + 4x + 4 = 0
Paso 1: Identifique los términos constantes y los términos incógnitos. En este ejemplo, los términos constantes son 4 y 4, mientras que el término incógnito es x2.
Paso 2: Aplique la fórmula cuadrática. En este caso, la fórmula cuadrática se vería así:
x = –4 ± √(42 – 4(1)(4)) / 2(1)
x = –4 ± √(16 – 16) / 2
x = –4 ± √0 / 2
x = –4 ± 0
x = –4 ± 0
x = –4 o x = –4
Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática son –4 y –4.
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