Explicacion y Ejemplos Problemas Ecuaciones De Tercer Grado
La ecuación de tercer grado es una ecuación polinómica que tiene la forma general:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
donde a, b, c y d son números reales (coeficientes) y x es una variable real. Si a es distinto de cero, la ecuación se puede factorizar en la forma:
(x – r1)(x – r2)(x – r3) = 0
donde r1, r2 y r3 son las raíces de la ecuación.
La ecuación de tercer grado tiene tres raíces, aunque pueden ser reales o imaginarias. Si las raíces son reales, la ecuación se dice que tiene raíces reales. Si las raíces son imaginarias, la ecuación se dice que tiene raíces imaginarias.
Para encontrar las raíces de la ecuación de tercer grado, se puede utilizar la fórmula general:
donde
a, b, c y d son los coeficientes de la ecuación de tercer grado
D se denomina discriminante de la ecuación. El discriminante se puede calcular utilizando la fórmula: D = b2 – 4ac
x1, x2 y x3 son las raíces de la ecuación de tercer grado.
El discriminante se usa para determinar el número y el tipo de raíces que tiene la ecuación. Por ejemplo, si el discriminante es positivo (D > 0), la ecuación tiene tres raíces reales diferentes. Si el discriminante es cero (D = 0), la ecuación tiene tres raíces reales coincidentes. Si el discriminante es negativo (D < 0), la ecuación tiene una raíz real y dos raíces imaginarias.
A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones de tercer grado con raíces reales:
Ejemplo 1: Resolver la ecuación de tercer grado 2x3 – 11x2 + 9x + 5 = 0
Usando la fórmula general, tenemos:
Como D > 0, la ecuación tiene tres raíces reales diferentes. Las raíces de la ecuación son: x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 3.
Ejemplo 2: Resolver la ecuación de tercer grado 4x3 – 21x2 + 37x – 15 = 0
Usando la fórmula general, tenemos:
Como D > 0, la ecuación tiene tres raíces reales diferentes. Las raíces de la ecuación son: x1 = 3, x2 = 1 y x3 = -1.
Ejemplo 3: Resolver la ecuación de tercer grado x3 – 5x + 6 = 0
Usando la fórmula general, tenemos:
Como D = 0, la ecuación tiene tres raíces reales coincidentes. La única raíz de la ecuación es: x = 2.
A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones de tercer grado con raíces imaginarias:
Ejemplo 4: Resolver la ecuación de tercer grado x3 + 2x2 + 10x = 20
Usando la fórmula general, tenemos:
Como D < 0, la ecuación tiene una raíz real y dos raíces imaginarias. La raíz real de la ecuación es: x = -1. Las raíces imaginarias de la ecuación son: x = -2 ± 3i.
Ejemplo 5: Resolver la ecuación de tercer grado x3 + 4x = 4
Usando la fórmula general, tenemos:
Como D < 0, la ecuación tiene una raíz real y dos raíces imaginarias. La raíz real de la ecuación es: x = -1. Las raíces imaginarias de la ecuación son: x = 1 ± 2i.
Problemas Resueltos con soluciones de Ecuaciones De Tercer Grado
En general, una ecuación de tercer grado es una ecuación polinómica en la que el término de mayor grado es de tercer grado. Las ecuaciones de tercer grado comunes son aquellas que tienen la forma ax3 + bx2 + cx + d = 0, donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0.
Aunque existen varios métodos para resolver ecuaciones de tercer grado, el más común es el método de factorización. Para resolver una ecuación de tercer grado mediante el método de factorización, el primer paso es transformar la ecuación de tercer grado en una ecuación de segundo grado. Esto se puede hacer mediante el método de sustitución o el método de reducción. Una vez que se ha transformado la ecuación de tercer grado en una ecuación de segundo grado, el segundo paso es resolver la ecuación de segundo grado.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación de tercer grado 2x3 − 11x2 + 24x − 15 = 0
Paso 1: Transformar la ecuación de tercer grado en una ecuación de segundo grado
El primer paso es transformar la ecuación dada en una ecuación de segundo grado. Esto se puede hacer mediante el método de sustitución o el método de reducción. En este ejemplo, se utilizará el método de sustitución.
Para utilizar el método de sustitución, se debe definir una nueva variable y que será igual a x2. Entonces, la ecuación dada se puede reescribir como:
y = x2
2y − 11x2 + 24x − 15 = 0
Paso 2: Resolver la ecuación de segundo grado
Ahora que se ha transformado la ecuación de tercer grado en una ecuación de segundo grado, el segundo paso es resolver la ecuación de segundo grado. Esto se puede hacer utilizando el método de factorización.
La ecuación dada se puede reescribir como:
(2y − 15) + (11x2 − 24x) = 0
Ahora, se puede factorizar la ecuación utilizando el método de factorización por grouping:
(2y + 3) + (11x2 + 12x) = 0
La ecuación factorizada se puede reescribir como:
y = − 1⁄2(11x2 + 12x)
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación dada son:
