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Ejemplos y Explicacion Problemas Extremos De Funciones De Dos Variables
En matemáticas, el extremo de una función de dos variables es un valor máximo o mínimo de la función en una región de su dominio. Un extremo relativo de una función de dos variables es un punto en el que la función tiene un valor máximo o mínimo local, es decir, un valor máximo o mínimo en una vizinanza del punto. Los extremos globales son los extremos relativos que ocurren en el borde de la región, es decir, en los puntos en los que la vizinanza es tan pequeña que contiene el borde de la región.
Por ejemplo, si f es una función definida en un rectángulo y cada uno de sus extremos relativos es un extremo global, entonces f tiene un extremo global en cada uno de los cuatro vértices del rectángulo. Si una función tiene un extremo en un punto interior de la región, se dice que el extremo es estricto. De lo contrario, se dice que el extremo es mixto.
Para una función de dos variables f(x,y), el valor máximo se denota sup f y el valor mínimo se denota inf f. El supremum de una función de dos variables es el valor máximo de la función en su dominio y el infimum es el valor mínimo de la función en su dominio.
Por ejemplo, supongamos que f(x,y) es la función de dos variables definida por f(x,y)=x^2+y^2. El dominio de f es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x^2+y^2 < ∞, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x e y son números reales. El sup f es el valor máximo de la función en su dominio, es decir, en el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x e y son números reales. El inf f es el valor mínimo de la función en su dominio, es decir, en el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que x e y son números reales. En este ejemplo, el sup f es ∞ y el inf f es 0.
Problemas Resueltos con soluciones de Extremos De Funciones De Dos Variables
Ejemplos de Ejercicios Resueltos con Soluciones de Extremos De Funciones De Dos Variables
A continuación se presentan algunos ejemplos de cómo calcular los extremos de funciones de dos variables. En cada ejemplo, se proporciona la función, se especifican los límites de x e y, y se calcula el extremo.
Ejemplo 1
Considere la función f(x,y) = x2 + y2
Los límites de x e y son:
-∞ < x < ∞
-∞ < y < ∞
Por lo tanto, el extremo es:
f(x,y) = x2 + y2 = 0
Ejemplo 2
Considere la función f(x,y) = x4 – y4
Los límites de x e y son:
-∞ < x < ∞
-∞ < y < ∞
Por lo tanto, el extremo es:
f(x,y) = x4 – y4 = 0
Ejemplo 3
Considere la función f(x,y) = x2 – y2
Los límites de x e y son:
-∞ < x < ∞
-∞ < y < ∞
Por lo tanto, el extremo es:
f(x,y) = x2 – y2 = 0
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