Explicacion y Ejemplos Problemas Valor Inicial Con Transformada De Laplace
La Transformada de Laplace es una herramienta fundamental en la manipulación de funciones de variable compleja. Su uso permite resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, así como ecuaciones integrales y de suma de Fourier. En esta lección, vamos a introducir el concepto de Valor Inicial de una función y aprenderemos cómo utilizar la Transformada de Laplace para encontrar el Valor Inicial de una función dada.
Imagina que tienes una función f(t) y quieres encontrar su Valor Inicial, f(0). Esto es equivalente a encontrar el límite de f(t) a medida que t se acerca a 0. Si la función f es continuous en 0, entonces el Valor Inicial existe y es igual a:
f(0) = lim→0f(t)
Pero ¿qué pasa si la función f no es continua en 0? En este caso, el límite no existe y, por lo tanto, el Valor Inicial no existe. Esto puede suceder si la función f tiene un cambio abrupto en el valor en 0, como en el siguiente ejemplo:
En el ejemplo anterior, vemos que f(t) tiene un cambio abrupto de valor en t = 0. Esto significa que el límite no existe y, por lo tanto, el Valor Inicial no existe. En este caso, decimos que el Valor Inicial es «indeterminado».
Ahora que sabemos qué es el Valor Inicial de una función y cómo determinar si existe o no, vamos a aprender cómo utilizar la Transformada de Laplace para encontrar el Valor Inicial de una función dada.
La Transformada de Laplace de una función f(t) es igual a:
Donde s es un número complejo. Esta ecuación se conoce como la ecuación de definición de la Transformada de Laplace. Si conocemos la Transformada de Laplace de una función f, podemos encontrar su Valor Inicial utilizando la siguiente ecuación:
f(0) = lim→0 [s∗F(s)]
Donde F(s) es la Transformada de Laplace de f. Utilizando esta ecuación, podemos encontrar el Valor Inicial de cualquier función, siempre y cuando conozcamos su Transformada de Laplace.
Vamos a ver un ejemplo de cómo utilizar esta ecuación para encontrar el Valor Inicial de una función. Consideremos la función f(t) = t2∗e−t. Sabemos que la Transformada de Laplace de esta función es:
Utilizando la ecuación anterior, podemos encontrar el Valor Inicial de esta función:
f(0) = lim→0 [s∗F(s)]
f(0) = lim→0 [s∗(s2∗e−s)]
f(0) = lim→0 [(s2∗s)∗e−s]
f(0) = lim→0 [s3∗e−s]
f(0) = 0
De esta manera, podemos utilizar la Transformada de Laplace para encontrar el Valor Inicial de una función, siempre y cuando conozcamos su Transformada de Laplace. En la siguiente lección, aprenderemos cómo encontrar la Transformada de Laplace de una función dada.
Problemas Resueltos con soluciones de Valor Inicial Con Transformada De Laplace
Los ejercicios de valor inicial con la transformada de Laplace pueden ser resueltos de manera muy sencilla si se siguen unos pasos básicos. En primer lugar, se debe determinar la función de escalón que describe el sistema. Esto se hace multiplicando la función de escalón por el impulso unitario, u(t). Luego se debe encontrar la transformada de Laplace de esa función de escalón. Una vez que se tiene la transformada de la función de escalón, se puede encontrar la transformada de cualquier función f(t) multiplicando simplemente la transformada de f(t) por la transformada de la función de escalón. Esto se debe a que la transformada de la función de escalón es la «unidad» en el espacio de las transformadas de Laplace. A continuación se presentan unos cuantos ejemplos de cómo resolver ejercicios de valor inicial usando la transformada de Laplace.
Ejemplo 1: Encuentre la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de valor inicial:
y’ + 5y = 2e-3t, y(0) = 1
Paso 1: Determine la función de escalón del sistema.
La función de escalón del sistema es ys(t) = 2u(t) – u(t – 3).
Paso 2: Encuentre la transformada de Laplace de la función de escalón.
La transformada de Laplace de ys(t) es Ys(s) = 2 – e-3s.
Paso 3: Encuentre la transformada de Laplace de la función f(t).
La transformada de Laplace de f(t) es F(s) = 2s / (s + 5).
Paso 4: Obtenga la solución del sistema de ecuaciones diferenciales.
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales es y(t) = (2/5)e-5t + (2/5)e-3t.
Ejemplo 2: Encuentre la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de valor inicial:
y» + 4y’ + 13y = cos(3t), y(0) = 0, y'(0) = 5
Paso 1: Determine la función de escalón del sistema.
La función de escalón del sistema es ys(t) = 5u(t) + (1/3)cos(3t).
Paso 2: Encuentre la transformada de Laplace de la función de escalón.
La transformada de Laplace de ys(t) es Ys(s) = 5 / (s + 1) + (1/9)(s – 3).
Paso 3: Encuentre la transformada de Laplace de la función f(t).
La transformada de Laplace de f(t) es F(s) = (s – 3) / ((s + 1)2 + 9).
Paso 4: Obtenga la solución del sistema de ecuaciones diferenciales.
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales es y(t) = (1/3)cos(3t) + (5/3)sin(3t).
