Ejemplos y Explicacion Problemas Optimizacion Con Funciones De Dos Variables
Para comprender la optimización con funciones de dos variables, es importante primero conocer cómo se puede optimizar una función de una variable. La optimización de una función de una variable es el proceso de encontrar el valor de la variable que minimiza o maximiza la función. En otras palabras, se trata de encontrar el valor de x que resulta en el valor más alto o más bajo de la función, dependiendo de si se está tratando de minimizar o maximizar la función. Para esto se utilizan técnicas de derivadas.
La optimización con funciones de dos variables es similar, pero se realiza con respecto a dos variables en lugar de una. Esto significa que se está buscando el valor de x que minimiza o maximiza la función, pero también se está considerando el valor de y. Esto puede hacerse de varias maneras, pero la más común es utilizar derivadas parciales. Las derivadas parciales se utilizan para calcular la tasa de cambio de una función en una dirección específica, en lugar de la dirección general. Esto es útil cuando se está optimizando una función con respecto a múltiples variables, ya que permite considerar cada variable de forma independiente.
Una manera de pensar en la optimización con funciones de dos variables es como una función de una variable que cambia con respecto a otra variable. En otras palabras, se está considerando cómo cambia la función cuando se cambia el valor de una de las variables. Esto se puede hacer para minimizar o maximizar la función, dependiendo de lo que se esté tratando de optimizar. Por ejemplo, si se está optimizando una función con respecto a x, se puede considerar cómo cambia la función cuando se cambia el valor de y. Esto se puede hacer utilizando derivadas parciales.
Hay una serie de ejemplos que pueden ayudar a comprender mejor la optimización con funciones de dos variables. En primer lugar, considere la función f(x,y)=x^2+y^2. Esta es una función cuadrática, lo que significa que tiene un mínimo en (0,0). Para encontrar el mínimo de esta función, se pueden utilizar las derivadas parciales. Se calcula la derivada parcial de f(x,y) con respecto a x y se obtiene 2x. Esto significa que la tasa de cambio de la función en x es 2x. De manera similar, se calcula la derivada parcial de f(x,y) con respecto a y y se obtiene 2y. Esto significa que la tasa de cambio de la función en y es 2y.
A partir de esto, se puede ver que la función está cambiando más rápidamente cuando x es positivo que cuando x es negativo. De manera similar, la función está cambiando más rápidamente cuando y es positivo que cuando y es negativo. Esto significa que el mínimo de la función está en (0,0), ya que en este punto la función no está cambiando en absoluto. Si se utilizan las derivadas parciales para maximizar la función, se encontrará que el máximo está en (0,0), ya que en este punto la función está cambiando más rápidamente en ambas variables.
Otro ejemplo de optimización con funciones de dos variables es la función f(x,y)=x^2-y^2. Esta función también tiene un mínimo en (0,0), pero el método es un poco diferente. En este caso, se puede ver que la función está cambiando más rápidamente cuando x es positivo y y es negativo. Esto significa que el mínimo de la función está en (0,0).
En general, la optimización con funciones de dos variables es un proceso similar al de una variable, pero se realiza con respecto a dos variables en lugar de una. Esto significa que se está buscando el valor de x que minimiza o maximiza la función, pero también se está considerando el valor de y. Esto puede hacerse de varias maneras, pero la más común es utilizar derivadas parciales. Las derivadas parciales se utilizan para calcular la tasa de cambio de una función en una dirección específica, en lugar de la dirección general. Esto es útil cuando se está optimizando una función con respecto a múltiples variables, ya que permite considerar cada variable de forma independiente.
Problemas Resueltos con soluciones de Optimizacion Con Funciones De Dos Variables
A menudo, en la vida real, los problemas de optimización involucran más de una variable. Por ejemplo, al planificar un viaje, uno tiene que tomar en cuenta el costo de los boletos de avión, el costo de alquiler de un automóvil y el costo de los hoteles. Todos estos costos dependen de la ciudad de origen, la ciudad de destino y la duración del viaje. Es decir, son funciones de más de una variable. Sin embargo, en esta sección solo estudiamos funciones de una variable, ya que los métodos de optimización que se discutieron anteriormente se pueden extender fácilmente a funciones de más variables.
En general, una función de m variables se puede escribir como
f(x1, x2, …, xn) = f(x1, x2, …, xn)
donde x1, x2, …, xn son las n variables independientes y f es la función que determina cómo cambian estas variables.
En el problema de optimización, el objetivo es encontrar el/los valores extremos (mínimo o máximo) de la función f. Esto se puede hacer de manera similar a como se encontraron los extremos de una función de una variable. Sin embargo, debido a que hay más de una variable, la gráfica de la función f no se puede dibujar. En su lugar, se puede usar el método del contorno para visualizar los extremos de f. El método del contorno es un proceso de dibujo de líneas que conectan los puntos de igual valor de f. Esto se puede hacer fácilmente en una calculadora gráfica, como se muestra en la Figura 12.1.
Figura 12.1: Una función de dos variables y su gráfica de contorno
Como se mencionó anteriormente, el objetivo en el problema de optimización es encontrar el/los valores extremos de f. En la Figura 12.1, el punto A es un máximo local, el punto B es un mínimo local y el punto C es un punto de silla. Un máximo global y un mínimo global son extremos de f en todo su dominio. En la Figura 12.1, el punto D es un máximo global y el punto E es un mínimo global.
Los extremos globales pueden encontrarse facilmente en una gráfica de contorno. El extremo global más alto o más bajo se encuentra en el punto de la curva de contorno más alto o más bajo, respectivamente. En la Figura 12.1, el extremo global más alto es el punto D y el extremo global más bajo es el punto E.
Los extremos locales no siempre son tan fáciles de detectar. Para encontrar un extremo local, el primer paso es encontrar el dominio de f, es decir, el conjunto de todos los valores de x1 y x2 para los cuales f está definido. El segundo paso es encontrar todos los puntos en el dominio de f en los que f es derivable. El tercer paso es encontrar los valores extremos de f en esos puntos. Esto se puede hacer utilizando el método de Lagrange. El método de Lagrange es un método algebraico para encontrar extremos locales. A continuación se presenta un ejemplo que ilustra el método de Lagrange.
Ejemplo 12.1 Encuentre los extremos locales de la función f dada por
f(x, y) = x2 + 2y2
Solución
Paso 1 Encontrar el dominio de f. El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x y y para los cuales f está definido. En este caso, la función f está definida para todos los valores de x y y, por lo que su dominio es R2. (Recuerde que R es el conjunto de todos los números reales.)
Paso 2 Encontrar todos los puntos en el dominio de f en los que f es derivable. Para encontrar estos puntos, diferenciaremos f con respecto a x y y e igualaremos las derivadas parciales a cero.
∂f/∂x = 2x = 0
∂f/∂y = 4y = 0
Como se puede ver, las derivadas parciales de f se pueden igualar a cero si x = 0 y y = 0. Por lo tanto, el punto (0, 0) es el único punto en el dominio de f en el que f es derivable.
Paso 3 Use el método de Lagrange para encontrar los extremos locales de f. Como f solo es derivable en un punto, el extremo local de f debe ocurrir en ese punto, es decir, en el punto (0, 0). Para encontrar el extremo local, simplemente evaluamos f en ese punto. En este caso,
f(0, 0) = 0
Por lo tanto, el extremo local de f es el punto (0, 0) con un valor de f de cero. Como el extremo de f ocurre en un punto en el que f es constante, el extremo local de f es un extremo global. En otras palabras, el extremo local de f es un extremo de f en todo su dominio. Esto se debe a que en el punto (0, 0), f no está cambiando, por lo que no puede haber ningún otro extremo de f en el dominio de f.
Por lo tanto, el extremo global de f es el punto (0, 0) con un valor de f de cero.
Ejercicio 12.1 Encuentre los extremos locales de la función f dada por
f(x, y) = 4x2 + 9y2 – 36
Solución
Paso 1 Encontrar el dominio de f. El dominio de f es el conjunto de todos los valores de x y y para los cuales f está definido. En este caso, la función f está definida para todos los valores de x y y, por lo que su dominio es R2.
Paso 2 Encontrar todos los puntos en el dominio de f en los que f es derivable. Para encontrar estos puntos, diferenciaremos f con respecto a x y y e igualaremos las derivadas parciales a cero
