Explicacion y Ejemplos Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden
Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden parecer un concepto intimidante, pero en realidad son muy fáciles de comprender una vez que se conocen algunos de los términos y se comprende el concepto básico. En esta explicación, se proporcionarán ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden para ayudar a que el concepto sea más comprensible.
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una o más derivadas. Las derivadas son una medida de la tasa de cambio de una función en un punto específico. En otras palabras, la derivada de una función en un punto es el límite de la razón del cambio en la función a medida que se acerca al punto en cuestión.
Por ejemplo, considere la función y = x2. En cualquier punto de esta función, la derivada es igual a 2x. Esto significa que, si x = 1, entonces la derivada es igual a 2. Si x = 2, entonces la derivada es igual a 4. Y así sucesivamente.
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación que involucra solo una derivada. Por ejemplo, la ecuación y’ = 2x es una ecuación diferencial de primer orden. La letra y con una prima (‘) es el símbolo utilizado para la derivada de y. Esta ecuación se puede leer como «la derivada de y con respecto a x es igual a 2x«.
Otra forma de escribir esta ecuación es dy/dx = 2x. Esto se lee como «la derivada de y con respecto a x es igual a 2x«.
La ecuación y’ = 2x se puede resolver fácilmente utilizando el método de integración. El método de integración se utiliza para encontrar la función y a partir de su derivada. Para resolver la ecuación y’ = 2x, se debe integrar ambos lados de la ecuación con respecto a x. Esto se puede hacer fácilmente utilizando la siguiente fórmula de integración:
y = ∫ 2x dx
La integral se puede leer como «la integral de 2x con respecto a x«. Al integrar ambos lados de la ecuación, se obtiene la siguiente ecuación:
y = x2 + C
La letra C es una constante de integración. Esto significa que puede ser cualquier número real. Para encontrar el valor de C, se debe utilizar una condición inicial. Una condición inicial es un valor que se conoce de la función y. Por ejemplo, si se sabe que y = 1 cuando x = 0, entonces se puede utilizar esta información para encontrar el valor de C. Al sustituir y = 1 y x = 0 en la ecuación y = x2 + C, se obtiene C = 1. Por lo tanto, la ecuación final para y es y = x2 + 1.
Otro ejemplo de una ecuación diferencial de primer orden es y’ = y. Esta ecuación se puede resolver de la misma manera que la ecuación anterior. Se debe integrar ambos lados de la ecuación con respecto a x. Al hacer esto, se obtiene la siguiente ecuación:
y = ex + C
Para encontrar el valor de C, se debe utilizar una condición inicial. Por ejemplo, si se sabe que y = 1 cuando x = 0, entonces se puede utilizar esta información para encontrar el valor de C. Al sustituir y = 1 y x = 0 en la ecuación y = ex + C, se obtiene C = 0. Por lo tanto, la ecuación final para y es y = ex.
Problemas Resueltos con soluciones de Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden
Los ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden son una herramienta muy poderosa para analizar y resolver problemas en ciencias como la física y la química. En esta sección, proporcionaremos ejemplos de cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden usando el método de separación de variables.
Ejemplo 1
Considere la ecuación diferencial de primer orden
dy/dx = -2x
Usando el método de separación de variables, podemos reescribir esta ecuación como
dy/dx = -2x
Integrando ambos lados, tenemos
∫dy = ∫-2xdx
y = -x2 + C
Donde C es una constante de integración. Reordenando, podemos escribir esta solución general como
y = C – x2
Ejemplo 2
Considere la ecuación diferencial de primer orden
dy/dx = x2 + 2y
Usando el método de separación de variables, podemos reescribir esta ecuación como
dy/dx = x2 + 2y
Integrando ambos lados, tenemos
∫dy = ∫x2 + 2ydx
y = -x3/3 + 2x + C
Donde C es una constante de integración. Reordenando, podemos escribir esta solución general como
y = C – x3/3 + 2x
Ejemplo 3
Considere la ecuación diferencial de primer orden
dy/dx = ex – y
Usando el método de separación de variables, podemos reescribir esta ecuación como
dy/dx = ex – y
Integrando ambos lados, tenemos
∫dy = ∫ex – ydx
y = ex + C
Donde C es una constante de integración. Reordenando, podemos escribir esta solución general como
y = C + ex
Ejemplo 4
Considere la ecuación diferencial de primer orden
dy/dx = cos(x) + sin(y)
Usando el método de separación de variables, podemos reescribir esta ecuación como
dy/dx = cos(x) + sin(y)
Integrando ambos lados, tenemos
∫dy = ∫cos(x) + sin(y)dx
y = sen(x) + cos(y) + C
Donde C es una constante de integración. Reordenando, podemos escribir esta solución general como
y = C + sen(x) + cos(y)
Ejemplo 5
Considere la ecuación diferencial de primer orden
dy/dx = 3x2y
Usando el método de separación de variables, podemos reescribir esta ecuación como
dy/dx = 3x2y
Integrando ambos lados, tenemos
∫dy = ∫3x2ydx
y = x3 + C
Donde C es una constante de integración. Reordenando, podemos escribir esta solución general como
