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Explicacion y Ejemplos Sistema De Inecuaciones Con Una Incognita
Los Sistemas de Inecuaciones con una Incógnita (SII) son una herramienta matemática que sirve para resolver problemas en los que se necesita encontrar un número que cumple una o más condiciones al mismo tiempo. En estos sistemas se usan inecuaciones para expresar estas condiciones. Una inecuación es una desigualdad que puede ser verdadera o falsa. Las inecuaciones se usan para limitar el rango de números posibles que pueden ser soluciones del problema.
Por ejemplo, imagina que quieres comprar una pizza y una bebida para llevar. El precio de la pizza es de $5 y el de la bebida es de $2. Si solo tienes $10 para gastar en la comida, ¿qué cantidad de pizzas y de bebidas puedes comprar para no gastar todo tu dinero? En este caso se necesita encontrar un número que cumpla dos condiciones al mismo tiempo: que el precio de la pizza más el precio de la bebida sea igual a $10 y que el número de pizzas que comprarás sea menor o igual a 2.
Para solving este problema, se puede usar un SII. En primer lugar, se debe convertir cada una de las condiciones en una inecuación. En el ejemplo, la primera condición se puede expresar como 5x + 2y = 10 y la segunda condición se puede expresar como x ≤ 2. Luego, se deben graficar las inecuaciones en el plano cartesiano. Para hacer esto, se asigna una variable a cada una de las incógnitas (en este caso, x para la pizza y y para la bebida) y se grafican todas las combinaciones de valores que hacen que la inecuación sea verdadera. En el ejemplo, la primera inecuación sería 5x + 2y = 10, que se puede graficar como una recta en el plano cartesiano. La segunda inecuación, x ≤ 2, se puede graficar como una línea horizontal que pasa por el punto (2,0).
La intersección de las dos gráficas es el conjunto de todos los valores que hacen que ambas inecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo. En el ejemplo, la intersección de las dos gráficas es el punto (1,4), que significa que se puede comprar una pizza y cuatro bebidas para gastar todo el dinero.
Otro ejemplo de SII es el siguiente: imagina que vas a comprar regalos para tus amigos y quieres que ningún regalo cueste más de $100. ¿Cuánto dinero máximo puedes gastar en cada uno de los regalos? En este caso, se necesita encontrar un número que cumpla dos condiciones al mismo tiempo: que el precio de todos los regalos sea igual o menor a $1200 y que el precio de cada regalo sea menor o igual a $100.
Para solving este problema, se puede usar un SII. En primer lugar, se debe convertir cada una de las condiciones en una inecuación. En el ejemplo, la primera condición se puede expresar como x2 + y2 ≤ 1200 y la segunda condición se puede expresar como x ≤ 100 y y ≤ 100. Luego, se deben graficar las inecuaciones en el plano cartesiano. Para hacer esto, se asigna una variable a cada una de las incógnitas (en este caso, x para el primer regalo y y para el segundo regalo) y se grafican todas las combinaciones de valores que hacen que la inecuación sea verdadera. En el ejemplo, la primera inecuación sería x2 + y2 ≤ 1200, que se puede graficar como una circunferencia en el plano cartesiano. La segunda inecuación, x ≤ 100 y y ≤ 100, se puede graficar como un cuadrado que pasa por los puntos (0,0), (0,100), (100,0) y (100,100).
La intersección de las dos gráficas es el conjunto de todos los valores que hacen que ambas inecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo. En el ejemplo, la intersección de las dos gráficas es el cuadrado que está dentro de la circunferencia, que significa que se pueden comprar dos regalos cuyo precio sea menor o igual a $100 y que el precio total de los regalos sea igual o menor a $1200.
Problemas Resueltos con soluciones de Sistema De Inecuaciones Con Una Incognita
A continuación se presentan ejemplos de cómo resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita. En todos los ejemplos se utilizará el método gráfico para encontrar la solución.
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
begin{cases}x+5<0\x-2<0end{cases}
Paso 1: Graficar las inecuaciones.
begin{align*}&text{Inecuación 1: }x+5<0\&text{Inecuación 2: }x-2<0end{align*}
Paso 2: Identificar la intersección de las gráficas.
La intersección de las gráficas se encuentra en el punto (-2, -3).
Paso 3: Determinar si la intersección se encuentra en el rango de valores permitidos por ambas inecuaciones.
La intersección se encuentra en el rango de valores permitidos por ambas inecuaciones.
Paso 4: Encontrar la solución del sistema.
La solución del sistema es (-2, -3).
Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:
begin{cases}x+5<0\x-2>0end{cases}
Paso 1: Graficar las inecuaciones.
begin{align*}&text{Inecuación 1: }x+5<0\&text{Inecuación 2: }x-2>0end{align*}
Paso 2: Identificar la intersección de las gráficas.
La intersección de las gráficas se encuentra en el punto (-2, -3).
Paso 3: Determinar si la intersección se encuentra en el rango de valores permitidos por ambas inecuaciones.
La intersección NO se encuentra en el rango de valores permitidos por ambas inecuaciones.
Paso 4: Encontrar la solución del sistema.
El sistema NO tiene solución.
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