Explicacion y Ejemplos Problemas Sistemas De Ecuaciones 4 Eso Aplicadas
Los sistemas de ecuaciones lineales son conjuntos de dos o más ecuaciones lineales con un número igual de incógnitas. En otras palabras, un sistema de ecuaciones lineales es una forma de representar una serie de relaciones lineales entre variables en forma de una ecuación.
Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar el precio de un artículo en una tienda. Sabemos que el artículo costó $5 más que el doble del precio de otro artículo en la misma tienda. Así, podemos representar esta información en forma de un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente manera:
x + 2y = 10 x – y = 5
Donde: x = precio del primer artículo y = precio del segundo artículo
En este ejemplo, la primera ecuación representa la relación entre el precio del primer artículo y el precio del segundo artículo. La segunda ecuación representa la diferencia entre los dos precios. Juntas, estas dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales que podemos resolver para encontrar el precio de cada artículo.
Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Uno de los métodos más populares es el método de eliminación. El método de eliminación involucra manipular las ecuaciones en el sistema de tal manera que podamos «cancelar» una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Luego, podemos usar esta ecuación para encontrar el valor de la incógnita en términos de la otra incógnita. A continuación se muestra cómo se puede usar el método de eliminación para resolver el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo anterior.
x + 2y = 10 x – y = 5
Paso 1: Multiplique la primera ecuación por -1 y añádala a la segunda ecuación. -x – 2y = -10 x – y = 5
Paso 2: Simplifique las ecuaciones. -2y = -5 y = 2.5
Paso 3: Sustituya el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva para x. x + 2(2.5) = 10 x = 5
Por lo tanto, el precio del primer artículo es 5 dólares y el precio del segundo artículo es 2.5 dólares.
Otro método popular para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de sustitución. El método de sustitución involucra manipular las ecuaciones en el sistema de tal manera que podamos «cancelar» una de las incógnitas en una de las ecuaciones. Luego, podemos usar esta ecuación para encontrar el valor de la incógnita en términos de la otra incógnita. A continuación se muestra cómo se puede usar el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo anterior.
x + 2y = 10 x – y = 5
Paso 1: Multiplique la segunda ecuación por 2 y añádala a la primera ecuación. x + 2y = 10 2x – 2y = 10
Paso 2: Simplifique las ecuaciones. 3x = 20 x = 6.67
Paso 3: Sustituya el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva para y. 6.67 + 2y = 10 y = 1.67
Por lo tanto, el precio del primer artículo es 6.67 dólares y el precio del segundo artículo es 1.67 dólares.
Problemas Resueltos con soluciones de Sistemas De Ecuaciones 4 Eso Aplicadas
Los sistemas de ecuaciones lineales son una herramienta matemática muy útil que nos permite resolver problemas de la vida real. En esta sección, vamos a aprender cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con ejemplos resueltos paso a paso.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que se relacionan entre sí. Las ecuaciones lineales son aquellas en las que la incógnita (x) se eleva sólo a la potencia 1.
Por ejemplo, la ecuación 2x + 3 = 7 es una ecuación lineal, pero la ecuación x2 + 3 = 7 no lo es, ya que la incógnita x se eleva a la potencia 2.
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. En el primer caso, decimos que el sistema es compatible determinado, en el segundo, que el sistema es compatible indeterminado y, en el tercero, que el sistema es inconsistente.
Veamos unos ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales para que esto quede más claro:
2x + y = 8 ; x – 2y = –4
3x1 + 2x2 = –5 ; x1 + 2x2 = 1
4x + 5y = 2 ; 2x + y = 3
Ejercicios Resueltos de Sistemas de Ecuaciones Lineales
A continuación, vamos a resolver algunos ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales. En todos ellos, utilizaremos el método de eliminación de incógnitas, que consiste en sustituir una de las variables en todas las ecuaciones del sistema por su valor y, así, eliminarla del sistema. Vamos a ver un ejemplo:
Resolver el siguiente sistema:
2x + y = 8
x – 2y = –4
En este sistema, vamos a eliminar la variable x. Para ello, sustituimos su valor en todas las ecuaciones del sistema. En la primera ecuación, la x la sustituimos por (8 – y)/2 y, en la segunda, la x la sustituimos por (–4 + 2y). Así, tenemos:
y = 8 – 2(8 – y)/2
y = 8 – 2(–4 + 2y)
Al despejar la y en ambas ecuaciones, tenemos:
y = 8 – y
y = 12 – 2y
Al igualar ambas ecuaciones, tenemos:
y + y = 8
2y = 8
Despejando la y, tenemos:
y = 8/2
y = 4
Así, la y vale 4. Sustituyendo esto en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, podemos calcular el valor de x:
2x + 4 = 8
2x = 8 – 4
2x = 4
x = 4/2
x = 2
Así, la x vale 2. Por tanto, la solución del sistema es (2, 4).
Otro ejemplo:
Resolver el siguiente sistema:
3x1 + 2x2 = –5
x1 + 2x2 = 1
En este sistema, vamos a eliminar la variable x2. Para ello, sustituimos su valor en todas las ecuaciones del sistema. En la primera ecuación, la x2 la sustituimos por (–5 – 3x1)/2 y, en la segunda, la x2 la sustituimos por (1 – x1)/2. Así, tenemos:
3x1 + 2((–5 – 3x1)/2) = –5
3x1 + (–5 – 3x1) = –5
3x1 – 3x1 + 5 = –5
5 = –5
Como 5 ≠ –5, el sistema es inconsistente y, por tanto, no tiene solución.
Otro ejemplo:
Resolver el siguiente sistema:
4x + 5y = 2
2x + y = 3
En este sistema, vamos a eliminar la variable y. Para ello, sustituimos su valor en todas las ecuaciones del sistema. En la primera ecuación, la y la sustituimos por (2 – 4x)/5 y, en la segunda, la y la sustituimos por (3 – 2x). Así, tenemos:
4x + 5((2 – 4x)/5) = 2
4x + (2 – 4x) = 2
4x – 4x + 2 = 2
2 = 2
Como 2 = 2, el sistema es compatible determinado y, por tanto, tiene una única solución. Para encontrarla, sustituimos la y en cualquiera de las ecuaciones y resolvemos la ecuación resultante para la x:
4x + 5(3 – 2x)/2 = 2
4x + 5(3 – 2x) = 2
4x + 3 – 10x + 10 = 2
–6x + 13 = 2
–6x = 2 – 13
–6x = –11
x = 11/6
x = 1,83333…
Así, la x vale 1,83333… Sustituyendo esto en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, podemos calcular el valor de y:
