Explicacion y Ejemplos Problemas Sistemas De Ecuaciones No Lineales
Sistemas de ecuaciones no lineales son aquellos sistemas en los que las ecuaciones involucradas no son lineales. En otras palabras, no se pueden representar mediante una línea recta en un gráfico. Algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales son:
y = x2 + 2
y = |x|
y = sin(x)
La forma general de una ecuación no lineal es:
y = f(x)
Donde f(x) es una función no lineal de x. Para un sistema de dos ecuaciones no lineales, la forma general es:
y1 = f1(x1, x2)
y2 = f2(x1, x2)
Donde f1(x1, x2) y f2(x1, x2) son funciones no lineales de x1 y x2.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales significa encontrar los valores de las variables que hacen que las ecuaciones sean verdaderas. Esto se puede hacer de forma gráfica o algebraica. En el caso de un sistema de dos ecuaciones no lineales, se puede resolver mediante el método de sustitución o el método de eliminación. El método que se utiliza depende de la forma de las ecuaciones y de las habilidades del matemático.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales de forma gráfica significa encontrar los puntos de intersección de las dos curvas que representan las ecuaciones. Esto se puede hacer a mano o utilizando un software de gráficación. Algunos software de gráficación, como Desmos, pueden encontrar automáticamente los puntos de intersección de las curvas. Otros, como GeoGebra, requieren que el usuario marque manualmente los puntos de intersección. Una vez que se han encontrado los puntos de intersección, se pueden utilizar para encontrar los valores de las variables que hacen que las ecuaciones sean verdaderas.
Resolver un sistema de ecuaciones no lineales de forma algebraica significa manipular las ecuaciones algebraicamente hasta que se puedan solucionar por sustitución o eliminación. Esto se puede hacer a mano o utilizando un software algebraico, como Wolfram|Alpha. A menudo, es necesario transformar las ecuaciones para que sean más fáciles de manipular. Esto se puede hacer mediante el cambio de variable o la aplicación de funciones inversas. Una vez que se han manipulado las ecuaciones adecuadamente, se pueden utilizar el método de sustitución o el método de eliminación para encontrar los valores de las variables que hacen que las ecuaciones sean verdaderas.
El método de sustitución se utiliza cuando una de las ecuaciones puede manipularse para que solo tenga una variable. Esto se hace resolviendo la ecuación para la variable en cuestión. Luego, la variable se sustituye en la otra ecuación. Esto se hace hasta que solo quede una variable en la ecuación. El valor de esta variable se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
y = x2 + 2
y = |x|
La primera ecuación se puede manipular para que solo tenga una variable, x2. Esto se hace calculando el valor absoluto de ambos lados de la ecuación. Luego, se resta 2 del lado derecho de la ecuación. Esto da como resultado:
|x| = x2 – 2
Ahora que solo hay una variable en la ecuación, se puede sustituir en la otra ecuación. Esto da como resultado:
y = x2 + 2
y = x2 – 2
Ahora que ambas ecuaciones tienen la misma variable, se puede cancelar. Esto da como resultado:
4 = 0
Como 4 no puede ser igual a 0, este sistema no tiene solución. Si el resultado de esta manipulación algebraica es una ecuación consistente e indeterminada, esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones. Si el resultado de esta manipulación algebraica es una ecuación inconsistente, esto significa que el sistema no tiene solución.
El método de eliminación se utiliza cuando es posible manipular las ecuaciones de tal forma que una de las variables se cancele. Esto se hace sumando o restando las ecuaciones de tal forma que un término con la variable en cuestión se cancele. Luego, esta ecuación se sustituye en la otra ecuación. Esto se hace hasta que solo quede una variable en la ecuación. El valor de esta variable se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
y = x2 + 2
y = |x|
Ambas ecuaciones pueden manipularse de tal forma que un término con x se cancele. Esto se puede hacer restando la segunda ecuación de la primera ecuación. Esto da como resultado:
0 = x2 + 2 – |x|
Ahora que solo hay una variable en la ecuación, se puede sustituir en la otra ecuación. Esto da como resultado:
y = x2 + 2
y = |x|
0 = x2 + 2 – y
Ahora que ambas ecuaciones tienen la misma variable, se puede cancelar. Esto da como resultado:
0 = x2 + 2 – y
0 = (x – 1)(x + 1) – y
Como 0 no puede ser igual a un producto, este sistema no tiene solución.
Algunos sistemas de ecuaciones no lineales tienen solución, mientras que otros no. El método que se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones no lineales depende de la forma de las ecuaciones y de las habilidades del matemático. A veces, es necesario transformar las ecuaciones para que sean más fáciles de manipular. Esto se puede hacer mediante el cambio de variable o la aplicación de funciones inversas. Una vez que se han manipulado las ecuaciones adecuadamente, se pueden utilizar el método de sustitución o el método de eliminación para encontrar los valores de las variables que hacen que las ecuaciones sean verdaderas.
Problemas Resueltos con soluciones de Sistemas De Ecuaciones No Lineales
Los sistemas de ecuaciones no lineales son una clase de sistemas de ecuaciones en los que al menos una de las ecuaciones es no lineal. En general, una ecuación es no lineal si no puede ser representada como el producto de dos variables independientes.
Aunque los sistemas de ecuaciones no lineales pueden ser analizados matemáticamente, en la práctica a menudo se utilizan métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas. Uno de los métodos numéricos más utilizados para resolver sistemas de ecuaciones no lineales es el método de Newton-Raphson.
El método de Newton-Raphson se basa en la aproximación de la función no lineal en una función lineal cercana. Luego, el método de Newton-Raphson se puede utilizar para resolver el sistema de ecuaciones lineal aproximado. La solución del sistema de ecuaciones lineal aproximado es una aproximación de la solución del sistema de ecuaciones no lineales original.
A continuación se presentan dos ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones no lineales usando el método de Newton-Raphson.
Ejemplo 1
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
begin{align*} x^2-y&=0\ e^{x}+y&=2 end{align*}
Paso 1: Aproximar la función no lineal $x^2-y$ por una función lineal cercana. En este caso, se puede aproximar la función $x^2-y$ por la función lineal $x^2$. Luego, el sistema de ecuaciones no lineales se puede reescribir como el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
begin{align*} x^2-y&=0\ e^{x}+y&=2 end{align*}
Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones lineales aproximado usando el método de Newton-Raphson. En este caso, el sistema de ecuaciones lineales aproximado se puede reescribir como el siguiente sistema de ecuaciones:
begin{align*} x_1&=y\ x_2&=2-e^{x_1} end{align*}
La solución del sistema de ecuaciones lineales aproximado es una aproximación de la solución del sistema de ecuaciones no lineales original. En este caso, la solución del sistema de ecuaciones lineales aproximado es $(1,1)$.
Ejemplo 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
Paso 1: Aproximar la función no lineal $cos(x)+sin(y)$ por una función lineal cercana. En este caso, se puede aproximar la función $cos(x)+sin(y)$ por la función lineal $x$. Luego, el sistema de ecuaciones no lineales se puede reescribir como el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
begin{align*} x-y&=1\ x+y&=0 end{align*}
Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones lineales aproximado usando el método de Newton-Raphson. En este caso, el sistema de ecuaciones lineales aproximado se puede reescribir como el siguiente sistema de ecuaciones:
begin{align*} x_1&=y+1\ x_2&=-x_1 end{align*}
La solución del sistema de ecuaciones lineales aproximado es una aproximación de la solución del sistema de ecuaciones no lineales original. En este caso, la solución del sistema de ecuaciones lineales aproximado es $(0,0)$.
