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Explicacion y Ejemplos Problemas Mezclas De Ecuaciones De Primer Grado
Una mezcla de ecuaciones es una ecuación que tiene dos o más incógnitas. En esta lección, aprenderás a solucionar mezclas de ecuaciones de primer grado usando el método de sustitución. En primer lugar, repasaremos cómo solucionar una ecuación de primer grado para una incógnita. Luego, aprenderás a identificar cuándo debes usar el método de sustitución para resolver una mezcla de ecuaciones. Finalmente, verás cómo resolver algunos ejemplos de mezclas de ecuaciones de primer grado usando el método de sustitución.
Para solucionar una ecuación de primer grado para una incógnita, debes aislar la incógnita en un lado de la ecuación. En otras palabras, deberías terminar con la incógnita en un lado y todas las otras letras en el otro lado. Esto se puede lograr mediante el uso de las propiedades de las ecuaciones, que se enumeran a continuación.
Propiedades de las ecuaciones:
1. Si se agrega o se resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, la ecuación permanecerá igualmente cierta.
2. Si se multiplica o se divide ambos lados de una ecuación por la misma cantidad (excepto 0), la ecuación permanecerá igualmente cierta.
3. Si se intercambian los lados de una ecuación, la ecuación seguirá siendo igualmente cierta.
4. Si ambos lados de una ecuación se multiplican o dividen por la misma cantidad (excepto 0), la ecuación seguirá siendo igualmente cierta.
5. Si se agrega o se resta la misma cantidad a un lado de una ecuación y se multiplica o divide el mismo lado por la misma cantidad (excepto 0), la ecuación seguirá siendo igualmente cierta.
Veamos un ejemplo de cómo aplicar estas propiedades para solucionar una ecuación de primer grado para una incógnita. supongamos que tenemos la siguiente ecuación:
3x + 5 = 11
Nuestra meta es aislar la incógnita en un lado de la ecuación. La forma más fácil de hacer esto es comenzar por simplificar el lado izquierdo de la ecuación. Podemos hacer esto agregando -5 a ambos lados de la ecuación. Esto se indica a continuación.
3x + 5 – 5 = 11 – 5
Al agregar -5 a ambos lados, se cancelarán los términos 5 en ambos lados. Luego, reordenaremos los términos en el lado izquierdo de la ecuación para que la incógnita esté sola. Esto se muestra a continuación.
3x = 6
La última etapa para resolver la ecuación es dividir ambos lados de la ecuación por 3. Esto se indica a continuación.
3x/3 = 6/3
Al dividir ambos lados de la ecuación entre 3, se cancelarán los términos 3 en ambos lados. Luego, reordenaremos los términos en el lado izquierdo de la ecuación para que la incógnita esté sola. Esto se muestra a continuación.
x = 2
Ahora que hemos resuelto la ecuación para la incógnita, podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo 2 en lugar de x en la ecuación original. Si la ecuación se mantiene igualmente cierta, entonces sabemos que nuestra respuesta es correcta. Esto se muestra a continuación.
3(2) + 5 = 11
Como podemos ver, la ecuación se mantiene igualmente cierta, por lo que sabemos que nuestra respuesta de x = 2 es correcta.
Ahora que hemos revisado cómo resolver ecuaciones de primer grado para una incógnita, veamos cómo solucionar mezclas de ecuaciones de primer grado. Una mezcla de ecuaciones es una ecuación que tiene dos o más incógnitas. Por ejemplo, la siguiente ecuación es una mezcla de ecuaciones de primer grado.
4x + 3y = 11
Tenemos dos incógnitas en esta ecuación, x e y. En general, para resolver una mezcla de ecuaciones, necesitaremos dos ecuaciones con las mismas incógnitas. A menudo, esto se puede lograr al escribir la mezcla de ecuaciones de una manera diferente. Por ejemplo, si consideramos la mezcla de ecuaciones anterior, podemos reescribirla de la siguiente manera.
4x = 11 – 3y
En esta ecuación, solo tenemos una incógnita, x. Ahora, si consideramos la siguiente mezcla de ecuaciones, podemos reescribirla de la siguiente manera.
y = (11 – 4x)/3
En esta ecuación, también solo tenemos una incógnita, y. Ahora que tenemos dos ecuaciones con una incógnita, podemos usar el método de sustitución para resolver la mezcla de ecuaciones. El método de sustitución involucra resolver una de las ecuaciones para una de las incógnitas y luego sustituir ese valor en la otra ecuación. Luego, podemos resolver la segunda ecuación para la otra incógnita. A continuación se muestra un ejemplo de cómo resolver una mezcla de ecuaciones usando el método de sustitución.
Considere la siguiente mezcla de ecuaciones:
4x + 3y = 11
-2x + 5y = 9
En primer lugar, resolvamos la primera ecuación para una de las incógnitas. Podemos resolver la ecuación para x de la siguiente manera.
4x = 11 – 3y
x = (11 – 3y)/4
Ahora que hemos resuelto la ecuación para x, podemos sustituir ese valor en la segunda ecuación. Esto se muestra a continuación.
-2(11 – 3y)/4 + 5y = 9
-11/2 + 3y/2 + 5y = 9
3y/2 + 5y = 9 + 11/2
3y/2 + 5y = 19/2
Ahora que hemos sustituido el valor de x en la segunda ecuación, podemos resolver la ecuación para y. Para hacer esto, debemos aislar la incógnita en un lado de la ecuación. Podemos hacer esto de la siguiente manera.
3y/2 + 5y = 19/2
3y/2 + 5y – 5y = 19/2 – 5y
3y/2 = 19/2 – 5y
3y/2 = 9/2 – 5y/2
3y/2 = 9/2 – 5y/2
6y/4 = 9/4 – 5y/4
6y/4 = 9/4 – 5y/4
6y/4 = (9 – 5y)/4
y = (9 – 5y)/2
y = 9/2 – 5y/2
y = 9/2 – 5(9/2 – 5y/2)/4
y = 9/2 – 45/8 + 25y/8
y = 9/2 – 45/8 + 25(9/2 – 45/8)/6
Problemas Resueltos con soluciones de Mezclas De Ecuaciones De Primer Grado
Sabemos que una mezcla de ecuaciones de primer grado es una ecuación que contiene dos o más incógnitas. La manera de solucionar una mezcla de ecuaciones de primer grado es aplicando el método de sustitución o el método de eliminación. En este artículo, te mostraremos ejemplos de ejercicios resueltos con soluciones de mezclas de ecuaciones de primer grado. Aprenderás a aplicar ambos métodos para resolver este tipo de ecuaciones.
El método de sustitución se basa en sustituir una de las incógnitas de una de las ecuaciones por su expresión en función de la otra incógnita. Luego, se sustituye esa expresión en la otra ecuación y se obtiene una ecuación reducida que sólo contiene una incógnita. Finalmente, se resuelve esa ecuación para obtener el valor de la incógnita y, a partir de ahí, se calcula el valor de la otra incógnita.
El método de eliminación se basa en igualar a cero una de las incógnitas de una de las ecuaciones multiplicando esta ecuación por un número adecuado. Luego, se suma o se resta esa ecuación multiplicada a la otra ecuación y se obtiene una ecuación reducida que sólo contiene una incógnita. Finalmente, se resuelve esa ecuación para obtener el valor de la incógnita y, a partir de ahí, se calcula el valor de la otra incógnita.
A continuación, te mostraremos un ejemplo de cómo resolver una mezcla de ecuaciones de primer grado utilizando el método de sustitución:
Ejemplo:
Resolver la siguiente mezcla de ecuaciones de primer grado:
2x + 3y = 10
x – 5y = -4
Solución:
Podemos resolver este problema de la siguiente manera:
1. Tomamos una de las ecuaciones, por ejemplo, la primera, y sustituimos una de las incógnitas por su expresión en función de la otra. En este caso, sustituimos y:
y = (10 – 2x) / 3
2. Luego, sustituimos esa expresión de y en la otra ecuación y obtenemos una ecuación reducida que sólo contiene una incógnita, x:
x – 5((10 – 2x) / 3) = -4
3. Resolvemos esta ecuación para x:
x – 5(10 – 2x) / 3 = -4
3x – 50 / 3 = -4
3x = 50 / 3 + 4
3x = 16 + 4
3x = 20
x = 20 / 3
x = 6.667…
4. Luego, sustituimos x en cualquiera de las dos ecuaciones y calculamos el valor de y:
y = (10 – 2x) / 3
y = (10 – 2(6.667…)) / 3
y = (10 – 13.334…) / 3
y = -3.334… / 3
y = -1.111…
Así, la solución de la mezcla de ecuaciones de primer grado es:
x = 6.667…
y = -1.111…
Ejemplo:
Resolver la siguiente mezcla de ecuaciones de primer grado:
3x – 5y = 7
2x + 3y = 11
Solución:
Podemos resolver este problema de la siguiente manera:
1. Tomamos una de las ecuaciones, por ejemplo, la primera, y sustituimos una de las incógnitas por su expresión en función de la otra. En este caso, sustituimos y:
y = (7 – 3x) / 5
2. Luego, sustituimos esa expresión de y en la otra ecuación y obtenemos una ecuación reducida que sólo contiene una incógnita, x:
2x + 3((7 – 3x) / 5) = 11
3. Resolvemos esta ecuación para x:
2x + 3(7 – 3x) / 5 = 11
10x + 21 – 9x / 5 = 11
10x + 21 – 9x = 55
10x – 9x = 55 – 21
10x – 9x = 34
x = 34 / 1
x = 34
4. Luego, sustituimos x en cualquiera de las dos ecuaciones y calculamos el valor de y:
y = (7 – 3x) / 5
y = (7 – 3(34)) / 5
y = (7 – 102) / 5
y = -95 / 5
y = -19
Así, la solución de la mezcla de ecuaciones de primer grado es:
x = 34
y = -19
A continuación, te mostraremos un ejemplo de cómo resolver una mezcla de ecuaciones de primer grado utilizando el método de eliminación:
Ejemplo:
Resolver la siguiente mezcla de ecuaciones de primer grado:
3x – 2y = 5
x + 4y = 9
Solución:
Podemos resolver este problema de la siguiente manera:
1. Tomamos una de las ecuaciones, por ejemplo, la primera, y la multiplicamos por un número adecuado para que una de las incógnitas quede igual a cero. En este caso, multiplicaremos la primera ecuación por -2:
-6x + 4y = -10
2. Luego, sumamos o restamos esta ecuación a la otra ecuación y obtenemos una ecuación reducida que sólo contiene una incógnita, x:
-6x + 4y = -10
x + 4y = 9
-6x + x = 9 – 10
-5x = -1
3. Resolvemos esta ecuación para x:
-5x = -1
x = 1 / -5
x = -0.2
4. Luego, sustituimos x en cualquiera de las dos ecuaciones y calculamos el valor de y:
y = (5 – 3x) / 2
y = (5 – 3(-0.2)) / 2
y = (5 – (-0.6)) / 2
y = (5 + 0.6) / 2
y = 5.6 / 2
y = 2.8
Así, la solución de la mezcla de ecuaciones de primer grado es:
x = -0.2
y = 2.8
Ejemplo:
Resolver la siguiente mezcla de ecuaciones de primer grado:
x – 3y = 4
2x – 5y = 9
Solución:
Podemos resolver este problema de la siguiente manera:
1. Tomamos una de las ecuaciones, por ejemplo, la primera, y la multiplicamos por un número adecuado para que una de las incógnitas quede igual a cero. En este caso, multiplicaremos la primera ecuación por 2:
2x – 6y = 8
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